Тор в топологической алгебре

[elle]

Подскажите пожалуйста, что такое Тор в топологической алгебре. ! Не путать с тором, который выглядит как бублик. Буду очень признательна, если будет дано подробное описание и определение.

[Someone]

В топологической алгебре? Тогда, видимо, двумерный тор - это прямое произведение двух экземпляров группы комплексных чисел с единичным модулем: $T^2=S^1\otimes S^1$.

[elle]

to Someone... а каковы элементы тора

[Someone]

elle писал(а):

to Someone... а каковы элементы тора :?:

Если описывать как произведение групп комплексных чисел, то элементы $T^2$ - упорядоченные пары комплексных чисел $(\alpha,\beta)$, удовлетворяющие условию $|\alpha|=|\beta|=1$. Умножение определяется как $(\alpha_1,\beta_1)\cdot(\alpha_2,\beta_2)=(\alpha_1\alpha_2,\beta_1\beta_2)$.
Можно рассмотреть другую модель: множество упорядоченных пар действительных чисел $(\alpha,\beta)$, удовлетворяющие условиям $0\leqslant\alpha<1$ и $0\leqslant\beta<1$. Групповой операцией здесь будет покоординатное сложение по модулю $1$: $(\alpha_1,\beta_1)+(\alpha_2,\beta_2)=((\alpha_1+\alpha_2)\mod{1},(\beta_1+\beta_2)\mod 1)$ (то есть, если сумма становится $\geqslant 1$, нужно отнять от неё $1$).

[elle]

to Someone... спасибо большое, кажется поняла. Вообще-то у меня еще вопрос - описанный тобой тор относится также и к группе характеров, в которых область значений функции именно тор?

[Someone]

elle писал(а):

Вообще-то у меня еще вопрос - описанный тобой тор относится также и к группе характеров, в которых область значений функции именно тор?

Не понял вопроса. Характер локально бикомпактной абелевой группы - это непрерывный гомоморфизм этой группы в фактор-группу $S^1=\mathbb R/\mathbb Z$ аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел. Здесь группу $S^1$ можно описать как множество действительных чисел $\alpha$, удовлетворяющих условию $0\leqslant\alpha<1$, в которой групповой операцией является сложение по модулю $1$. Это, естественно, имеет некоторое отношение ко второму описанию группы $T^2$, поскольку $T^2=S^1\oplus S^1$ (прямая сумма абелевых групп). Вообще, я здесь одинаково обозначаю формально разные группы, имея в виду, что они изоморфны как топологические группы.

[elle]

Все поняла. Спасибо огромное!