Как упростить ДУ

[oHag]

Имеется следующее ДУ:
$2y' + x = 4\sqrt{y}$
Не могу сообразить, какую тут сделать замену, чтобы привести ДУ к виду попроще. Помогите, пожалуйста.

[Someone]

Предположим, что $y$ "имеет степень" $k$, тогда $y'$ "имеет степень" $k-1$, а $\sqrt{y}$ - "степень" $\frac k2$; $x$ имеет степень $1$. Приравнивая "степени" членов, получим $k-1=1=\frac k2$; все равенства выполняются при $k=2$, поэтому это обобщённо однородное уравнение.
Делаем замену переменной $y=x^kz=x^2z$, где $z$ - новая неизвестная функция. Из условия существования корня получаем $y\geqslant 0$; так как $x^2\geqslant 0$, то и $z\geqslant 0$. Тогда $y'=x^2z'+2xz$, и уравнение принимает вид

$$2(x^2z'+2xz)+x=4\sqrt{x^2z}\qquad(=4|x|\sqrt{z}=\pm 4x\sqrt{z})\text{,}$$

где нужно взять знак "$+$" при $x\geqslant0$ и знак "$-$" при $x\leqslant 0$. После упрощений получаем

$$2xz'=\pm 4\sqrt{z}-1-4z\qquad(=-(2\sqrt{z}\mp 1)^2)\text{,}$$

то есть, уравнение с разделяющимися переменными.
Чтобы не запутаться с этими "плюс-минусами", лучше решить уравнение отдельно для $x\geqslant0$ и для $x\leqslant 0$.
Не забудьте, что при разделении переменных могут теряться решения, если то, на что Вы делите, может обращаться в $0$.