простое уравнение

[kda_ximik]

есть уравнение:
$x^4-6x^3+6x^2+10x-3=0$
Пытался делить на $x^2$ или $x^4$ , чтоб потом ввести новую переменную, но не могу сгруппировать члены, чтоб потом свернуть в удобные выражения.
Очевидно, что один из корней $-1$ и потом можно было бы поделить на $(x+1)$ получив при этом уже уравнение третьей степени.
Но хотелось бы решить уравнение строго, т.е без подбора корней и теоремы Безу

[mihailm]

а выражения подбирать можно?
$(x^2-3x-1)^2-(x-2)^2$

[kda_ximik]

mihailm в сообщении #617178 писал(а):

а выражения подбирать можно?
$(x^2-3x-1)^2-(x-2)^2$

а как Вы пришли к тому, что в первой скобке три слагаемых?

[Алексей К.]

kda_ximik в сообщении #617170 писал(а):

Но хотелось бы решить уравнение строго

Строгое решение выходит далеко за пределы школьного курса и изложено во всех справочниках.
Школьное решение нацелено именно на подбор целого корня и деление, т.е. на то, что Вы и собирались сделать.

[kda_ximik]

решение, которое предложил mihailm, не выходит за рамки школьной программы. Но такое разложение не очевидно

[Алексей К.]

Сочтите это трюкачеством, находчивостью, опытом, наблюдательностью, --- чем угодно.
Но если порешать это Вашим способом (который я объявил заодно и стандартным), можно потом переписать решение в виде, предложенном mihailm.
И как бы проявить такое же трюкачество, находчивость, опыт, наблюдательность, --- что угодно.

Если хотите --- давайте попробуем проявить.
Для этого распишите разложение левой части уравнения на множители путём подбора корней.

[Nacuott]

Обычно в таких уравнениях корни являются делителями свободного члена.
Здесь так и есть - корни -1 и 3 .

[kda_ximik]

Алексей К. в сообщении #617195 писал(а):

Сочтите это трюкачеством, находчивостью, опытом, наблюдательностью, --- чем угодно.
Если хотите --- давайте попробуем проявить.
Для этого распишите разложение левой части уравнения на множители путём подбора корней.

Уважаемый Алексей К.! В том то и дело, вряд ли mihailm подбирал корни для своего разложения. Это не трюкачество, а просто красивое решение!!! Поэтому хотелось бы научиться, понять с чего начинать и как подходить к таким на первый взгляд простым уравнениям. Согласитесь, что в большинстве случаев квадрат суммы двух членов легко увидеть, а вот трех уже сложно.
Что касается теорему Безу, так тут повезет-не-повезет. Если свободный член $2$, $4$ или $6$, то подбор еще имеет смысл, а если $720$ и реальный корень $-5$, то можно до утра подбирать!

[arqady]

kda_ximik, метод Феррари даёт нужное Вам разложение на множители:
$x^4-6x^3+6x^2+10x-3=(x^2-3x+k)^2-9x^2-k^2-2kx^2+6kx+6x^2+10x-3=$
$=(x^2-3x+k)^2-((2k+3)x^2-(6k+10)x+k^2+3)$.
Теперь подберите $k$ так, чтобы $(2k+3)x^2-(6k+10)x+k^2+3$ было бы квадратом двучлена.
Сразу видно, что $k=-1$ даёт искомое разложение, но можно и записать условие того, что
у квадратного трехчлена $(2k+3)x^2-(6k+10)x+k^2+3$ дискриминант равен нулю.

[Keter]

kda_ximik в сообщении #617170 писал(а):

Но хотелось бы решить уравнение строго, т.е без подбора корней и теоремы Безу

Единственная формула которой я пользовался - это дискриминант квадратного уравнения.

$x^4-6x^3+6x^2+10x-3=0$

$x^4+6x^2-6x^3-6+10x-3+6=0$

$x^4+6x^2-6(x^3+1)+10x+10-7=0$

$(x^4+6x^2-7)-6(x+1)(x^2-x+1)+10(x+1)=0$

$(x^2+7)(x^2-1)-6(x+1)(x^2-x+1)+10(x+1)=0$

$(x^2+7)(x-1)(x+1)-6(x+1)(x^2-x+1)+10(x+1)=0$

$(x+1) \bigg( (x^2+7)(x-1)-6(x^2-x+1)+10 \bigg)=0$

$(x+1)(x^3-7x^2+13x-3)=0$

$(x+1) \bigg( (x^3-27)-7x^2+13x+24 \bigg)=0$

$(x+1) \bigg( (x-3)(x^2+3x+9)-(7x^2-13x-24) \bigg)=0$

$(x+1) \bigg( (x-3)(x^2+3x+9)-7(x-3) \Big( x+\dfrac{8}{7} \Big) \bigg)=0$

$(x+1)(x-3) \bigg( x^2+3x+9-7 \Big( x+\dfrac{8}{7} \Big) \bigg)=0$

$(x+1)(x-3)(x^2-4x+1)=0$

Это было мучительно))

[mihailm]

kda_ximik в сообщении #617282 писал(а):

...вряд ли mihailm подбирал корни для своего разложения...

Конечно не подбирал, это способ Феррари, описан выше arqady
разберитесь и проблемы с решением уравнений 4 степени вас касаться не будут

[Cash]

Если школьнику встречается уравнение степени 3 и выше, то первым делом нужно проверять - есть ли рациональные корни. Тем более, что здесь у нас всего 4 кандидата.
Метод Феррари приводит к кубическому уравнению, которое проблематично решить школьными методами в общем случае.