Ссылки на примеры "несамосопряжённых" разложений

[ewert]

g______d в сообщении #617088 писал(а):

замкнутый плотно определенный симметрический оператор, удовлетворяющий условиям из первого поста (включая конечномерность ортогонального дополнения к линейной оболочке собственных функций).

Замыкание линейной оболочки собственных векторов -- это инвариантное подпространство. Для симметричного оператора ортогональное дополнение к инвариантному подпространству также является инвариантным. При этом хоть где-то на этом дополнении оператор определён (в противном случае он был бы определён не плотно). Сужение оператора на ортогональное дополнение также симметрично, а поскольку дополнение конечномерно -- на нём заведомо есть собственные векторы.

Т.е. если некоторая система собственных векторов не полна, но ортогональное дополнение к ним конечномерно, то это заведомо не все собственные векторы. Для бесконечномерного дополнения это, разумеется, уже не так.

[theambient]

ewert в сообщении #617031 писал(а):

theambient в сообщении #616890 писал(а):

разве первое не определяет второе?
...

Нет, первое никак не определяет второго.

Хм, если расширить область определения, то образ никак не станет меньше и для более-менее нетривиального оператора должен расшириться.

ewert в сообщении #617031 писал(а):

Последняя фраза принципиально бессмысленна: есть операторы, области определения которых в принципе невозможно расширить без потери их свойств (а именно те свойства и представляют практический интерес).

А для чего расширять? Все равно оператор игнорирует эти элементы, их как-будто бы и нет для него. Какие свойства от этого расширения меняются? Могу предположить, что это что-то связанное с сопряженным оператором.

[g______d]

ewert, да, я к этому и пытался прийти (не был уверен насчет ортогонального дополнения к инвариантному подпространству, но все-таки это правда). Таким образом, оператора со свойствами из первого поста (если я правильно их понял) не существует.