Определение обратной матрицы

[nnosipov]

Munin, Вы какой-то фокус показали, не могу его осознать. Т.е. Вы совсем бесплатно получили такое утверждение: если строки матрицы $B$ линейно независимы, то и столбцы тоже. В своём рассуждении я действительно пользуюсь симметрией ранга по строкам и столбцам (хотя постом выше мне казалось, что нет).

Кажется, дошло. Итак, пусть есть равенство $AB=E$. Оно означает, в частности, что система столбцов матрицы $E$ линейно выражается через систему столбцов матрицы $A$, а значит, последняя --- линейно независима. Домножим равенство $AB=E$ справа на $A$. Получим $AE_1=A$, где $E_1=BA$. Из равенства $AE_1=A$ следует, что система столбцов матрицы $A$ выражается через саму себя при помощи матрицы $E_1$. Но, как мы уже заметили, система столбцов матрицы $A$ линейно независима, поэтому $E_1=E$.

[Munin]

Ой. Я не хотел, честно. А как я его получил, не объясните?

[nnosipov]

Фокус совершенно честный, что приятно. Равенство $AB=E$ одновременно влечёт и линейную независимость столбцов матрицы $A$, и линейную независимость строк матрицы $B$. Поскольку мы вывели, что и $BA=E$, то теперь по тем же причинам столбцы матрицы $B$ линейно независимы (ну и строки матрицы $A$).

Вот хороший учебник, где я встречал подобные фокусы: Тыртышников, "Матричный анализ и линейная алгебра". Мне такой подход к критерию обратимости матрицы кажется вполне симпатичным и разумным.

[Munin]

А, вот как! То есть речь о том, что матрица действует на пространство векторов-столбцов, когда умножается слева, и та же матрица действует на пространство векторов-строк, когда умножается справа. Я этого не упоминал, но наверное, это действительно близкосвязанное утверждение.

[Утундрий]

DENIS1980 в сообщении #616467 писал(а):

Существуют ли две квадратные матрицы такие, что $AB=E$, но $BA\neq E$?

$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Считать ли матрицы из $\mathbb N^2 \to F$ квадратными?

[Nemiroff]

Утундрий в сообщении #617097 писал(а):

$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

Вы доказали, что если правая и левая обратные существуют, то они совпадают. Это всё же не то.

[lek]

Утундрий в сообщении #617097 писал(а):

$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

Вообще говоря, равенство $CA=E$ надо доказывать...

[nnosipov]

Выше уже довольно подробно обсудили нюансы возможных доказательств. Доказательства будут разные --- в зависимости от того, на какой базовый факт (не требующий доказательства) Вы собираетесь опереться.

[lek]

nnosipov в сообщении #617123 писал(а):

Доказательства будут разные --- в зависимости от того, на какой базовый факт (не требующий доказательства) Вы собираетесь опереться.

Действительно, если не использовать дополнительные свойства алгебры матриц (свойства определителей, линейную независимость и т.п.), то максимум, что можно извлечь из условий $AB=E$ и $BA\ne E$ - это существование пары ортогональных идемпотентов $E_1=BA$ и $E_2=AB-BA$ по которым алгебра матриц разлагается в прямую сумму двух односторонних идеалов. Отсюда следует, в частности, что должно выполняться условие $BA'\ne E$ (или $B'A\ne E$) для любой матрицы $A'$ (соответственно $B'$). Однако доказать, что $E_1=E$ и $E_2=0$, без привлечения дополнительных условий (читай - свойств алгебры матриц), невозможно.

[Munin]

arseniiv в сообщении #617113 писал(а):

Считать ли матрицы из $\mathbb N^2 \to F$ квадратными?

Думаю, они одновременно квадратные и неквадратные.

[LOL_XDD]

Цитата:

Думаю, они одновременно квадратные и неквадратные.

как так?-закон исключенного третьего не может быть одновременно и истинным и ложным!

[Утундрий]

А если так?
$AB = E,BA \ne E \Rightarrow BAB = B,BAB \ne B$

[LOL_XDD]

зачет

[AV_77]

Утундрий в сообщении #617158 писал(а):

А если так?
$AB = E,BA \ne E \Rightarrow BAB = B,BAB \ne B$

Из $BA \neq E$ так прямо не следует, что $BAB \neq B$. Например
$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$