Munin, Вы какой-то фокус показали, не могу его осознать. Т.е. Вы совсем бесплатно получили такое утверждение: если строки матрицы

линейно независимы, то и столбцы тоже. В своём рассуждении я действительно пользуюсь симметрией ранга по строкам и столбцам (хотя постом выше мне казалось, что нет).
Кажется, дошло. Итак, пусть есть равенство

. Оно означает, в частности, что система столбцов матрицы

линейно выражается через систему столбцов матрицы

, а значит, последняя --- линейно независима. Домножим равенство

справа на

. Получим

, где

. Из равенства

следует, что система столбцов матрицы

выражается через саму себя при помощи матрицы

. Но, как мы уже заметили, система столбцов матрицы

линейно независима, поэтому

.