Решение задачи Коши методом Галеркина

[Mathii]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться.
Имеется дифференциальное уравнение:
$y'' - \frac {y'} {2x} - y = \frac 2 x $
для него заданы краевые условия:
$y(0.6) = 1.3$
$0.5y(0.9) - 1.2y'(0.9) = 1$

Данная задача уже решалась мной двумя другими методами, и конечный ответ мне известен, но решить ее методом Галеркина у меня не получается.

Решение находится в виде:
$y(x) = \varphi_0(x) + \sum\limits_{k=1}^n a_k \varphi_k(x)$

Составленная мной программа дает верное решение для задачи с простыми краевыми условиями, вида:
$y(a) = L$
$y(b) = Q$
где L и Q - числа, a и b - границы диапазона.
При простых краевых условиях $\varphi_k(x)$ записывается следующим образом:
$\varphi_k(x)=(x-a)(x-b)^k$

Я читал, что $\varphi_k(x)$ – это какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющая однородным краевым условиям. Исходя из записи для простых краевых условий, я понимаю, что это такое произведение выражений, где одно из выражений будет равно 0 при x равным a или b.

Проблема, на мой взгляд, заключается в неверном понимании того, каким образом составляется функция $\varphi_k(x)$.
Если я задаю $\varphi_k(x) = (x-a)$, то результирующая функция верна только в точке a.
Я также пробовал решать ДУ для правой границы (0.9) и получал:
$y(x)=1-e^\frac {0.5x} {1.2}$.
С учетом полученного y(x), я пробовал записывать $\varphi_k(x)$ в виде:
$\varphi_k(x) = (1-e^\frac {0.5x} {1.2})(x-a)$,
но верного решения всеравно не получил.

[sup]

У Вас действительно проблемы с выбором $\varphi_k(x)$. Как я понимаю $\varphi_0(x)$ - слагаемое, удолетворяющее неоднородным краевым условиям. Поэтому займемся однородными краевыми условиями.
Пусть краевые условия имеют вид
$y(a) = 0$
$\alpha y(b) + \beta y'(b)=0$
Теперь уже видно, что выбор $\varphi_k(x) = (x-a)(x-b)^k$ безусловно удовлетворяет первому условию. Но второе условие выполняется только лишь при $k>1$. Поэтому $\varphi_1(x)$ надо подправить. Положим
$\varphi_1(x) = (x-a)(A (x-b) +B) $
и подберем $A,B$ так, чтобы выполнялось условие $\alpha \varphi_1(b) + \beta \varphi_1'(b)=0$.

[Mathii]

Большое спасибо! Теперь удалось получить решение.
Подскажите пожалуйста, почему Вы предложили записать второй множитель в виде:
$(A(x-b)+B)$

[sup]

Да все очень просто.
На отрезке $[a,b]$ система функций $\varphi_k(x) = (x-b)^k, \ \ k=0,1,2\dots$ образует базис. Чтобы выполнялось условие $y(a)=0$ надо все эти функции умножить на $x-a$. Получим набор $\psi_k(x) = (x-a)(x-b)^k, \ \ k=0,1,2\dots$.
Второму условию не удовлетворяют как $\psi_0(x)$, так и $\psi_1(x)$. Поэтому мы не можем включить их в базис Галеркина. Но зато можем включить их линейную комбинацию. Надо только "грамотно" подобрать коэффициенты.

[Mathii]

Спасибо! Теперь я попробовал взять краевые условия наоборот:
$\alpha y(a) + \beta {y'}(a) = 0$
$y(b) = 0$

Если рассуждать по аналогии, то на отрезке $[a, b]$ базис будет образовывать функция $\varphi_k(x) = (x-a)^k$, ее мы домножим на $(x-b)$ и получим набор $\varphi_k(x) = (x-b)(x-a)^k, k=0,1,2,...$. В таком случае первое условие не удовлетворяется, поэтому запишем:
$\varphi_1(x) = (x-b)(A(x-a) + B)$

При получении коэффициентов A и B в первом случае, я брал полученое $\varphi_1(x)$, подставлял его вместо $y(x)$ во второе краевое условие, после взятия производной получал:
$ 0.5 (x - a)(A(x- b) + B) - 1.2(A(x - b) + B + A(x-a))=0$.
Зная $a,b ; x=b$, я выражал B через A и тем самым находил коэффициенты.

Но проделать по аналогии то же самое во втором случае (где ДУ задает краевое условие для первой границы) у меня не получилось, но получилось перебором найти такие A и B, чтобы решение было близко к полученным ранее (эти решения были получены с новыми краевыми условиями). Однако, такой метод, на мой взгляд, некорректен, так как подобрать перебором коэффициенты без знания правильного ответа нереально. Не могли бы Вы подсказать, где я допускаю ошибку.