Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #616740 писал(а):

vicvolf
Средняя плотность групп (4,2,4,2,4) в ПСВ равна $\varphi_6(M)M$
При $M=210$ она равна 0,005,
при $M=2310$ - 0.002,
при $M=30030$ - 0,001.
Число таких групп, приходящихся на соответствующий интервал простых чисел равно:
для $M=210$ равно 0,55,
для $M=2310$ - 0,31,
для $M=30030$ - 0,27.

Это же противоречит вашему "доказательству". Число групп не растет, но падает. И все-таки, есть ли вообще такие группы среди простых чисел, кроме указанных ранее?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #616952 писал(а):

vorvalm в сообщении #616740 писал(а):

vicvolf
Средняя плотность групп (4,2,4,2,4) в ПСВ равна $\varphi_6(M)M$
При $M=210$ она равна 0,005,
при $M=2310$ - 0.002,
при $M=30030$ - 0,001.
Число таких групп, приходящихся на соответствующий интервал простых чисел равно:
для $M=210$ равно 0,55,
для $M=2310$ - 0,31,
для $M=30030$ - 0,27.

Это же противоречит вашему "доказательству". Число групп не растет, но падает. И все-таки, есть ли вообще такие группы среди простых чисел, кроме указанных ранее?

Средняя плотность падает с ростом М - все нормально! Ничему это не противоречит.

[vorvalm]

Я имею в виду не среднюю плотность, но число групп в интервале.

[vicvolf]

Руст в сообщении #616938 писал(а):

vicvolf в сообщении #616929 писал(а):

Но я рассматриваю асимптотику, т.е когда $x=p_r$ стремится к бесконечности. Тогда М стремится к бесконечности и все вычеты ПСВ меньше $(p_{r+1})^2$ будут простыми числами, а следовательно все вычеты ПСВ станут последовательностью простых чисел. Поэтому в этом случае разговор идет о количестве кортежей среди простых чисел. Вот именно с этих позиций надо понимать:
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Интервал $[o,p_r^2] =O(\ln ^2 M), M=\prod_{p\le p_r}p$ очень мал по сравнению М и вы тут никак не можете использовать среднюю плотность (точнее отношение общего количества к длине интервала) для оценки количество таких кортежей в этом интервале. Я вам предлагал оценить их количество на одной половине $(M/4,3M/4)$ даже тут без доказательства равномерности нельзя переносить среднюю плотность для оценки количества кортежей, Доказать равномерность очень не просто. Для простых чисел это эквивалентно гипотезе Римана.

Да, средняя плотность у меня неравномерная $c/ln^2 x$, но для получения количества кортежей я не умножаю ее как ранее на длину интервала $(p_{r+1})^2-p_{r+1}$. Для этого действительно требовалась равномерность плотности. Теперь для определения количества кортежей я беру интеграл, на котором длины маленьких отрезков со средней плотностью стремятся к 0.

-- 10.09.2012, 13:43 --

vorvalm в сообщении #616967 писал(а):

Я имею в виду не среднюю плотность, но число групп в интервале.

Интервал простых чисел меня не интересует. А вы просчитали количество таких групп на всем ПСВ(M) в зависимости от М и что получилось?

[vorvalm]

vicvolf
Ваше сообщение в посте 1 еще действует, или вы от него уже отказались?
Я это спрашиваю потому, что в последующих постах вы внесли достаточно много поправок,
и не знаешь, что брать за основу.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #616999 писал(а):

vicvolf
Ваше сообщение в посте 1 еще действует, или вы от него уже отказались?
Я это спрашиваю потому, что в последующих постах вы внесли достаточно много поправок,
и не знаешь, что брать за основу.

Возможно будут еще изменения. Это не окончательный вариант.

-- 10.09.2012, 18:35 --

Руст в сообщении #616938 писал(а):

вы тут никак не можете использовать среднюю плотность (точнее отношение общего количества к длине интервала) для оценки количество таких кортежей в этом интервале.

Действительно никакой реальной плотности не существует. Плотность бывает только средняя по определенному интервалу. Без интервала понятие плотности не существует. Например, средняя плотность простых чисел на интервале натуральных чисел зависит от интервала. Если брать одинаковые интервалы, то средняя плотность простых чисел на одинаковых интервалах падает, как $1/lnx$ и количество простых чисел определяется асимптотической формулой $\pi(x) \sim \int_{2}^{x}{dt/lnt}$.
В нашем случае средняя плотность кортежей определяется, как $C_k/ln^k x$, а количество кортежей определяется асимптотической формулой $\pi_к(x)\sim C_k\int_{2}^{x}{dt/ln^k t}$.

[vorvalm]

Спасибо, будем ждать-с.
Это хорошо, что вы поняли насчет средней плотности, а то я все хотел сранить ее со средей температурой по больнице.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #617093 писал(а):

Спасибо, будем ждать-с.
Это хорошо, что вы поняли насчет средней плотности......

Так как новых замечаний пока не поступало и Руст формулирует свое понятие равномерности (за что я ему очень благодарен, и которое в дальнейшем обсудим) по просьбе vorvalm исправляю текст на основании последних замечаний. Поскольку обсуждения идут интересные. Думаю, что это не последние исправления. Заранее благодарен всем участникам обсуждения.

-- 11.09.2012, 15:32 --

Количественные оценки некоторых кортежей чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)} (2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
N_4(m)=\frac {4} {3}(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=5}^{r}{(p_i-4)} (3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vovalm "Бесконечность простых близнецов".
Плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
N_k(m)/m=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} \cdot \prod_{i=k+1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} (4), где r>k+1.
Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности простых чисел.

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение \prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}):
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx).
Потенциируем и получаем:
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(\frac {1} {ln^k(x)})) /ln^k(x).
Следовательно,
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_k/ln^k x (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в ПСВ(m):
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.
Перед рассмотрением пределов отношений функций при x стремящемся к бесконечности поясним, что в этом случае последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.
Тогда предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции и асимптотика (6).

Следствие 1
Из формулы (7) и определения асимптотики функций следует:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:
\pi_2(x) \sim C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}.

Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}>\frac {C_{k1}(x-2)} {ln^k x}.
Перейдем к пределу:
\lim \limits_{x \to \infty} {\pi_k (x)} \geq C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}.
Найдем указанный предел по Лопиталю:
C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}= C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {kln^{k-1} x}}=...=C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {k!}}=\infty.
Следовательно \pi_k(\infty)=\infty

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:
P_k(x) < C_{k1}/ln^k x (9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:
\pi_k(x) < C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции \pi_k(x) сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию, которые табулированы.
Пусть $I_k (x)=(-lnx)^k (lnx)^{-k} \gamma (1-k, -lnx)$.
Тогда
$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ (11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ (12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду: $1.32\int_{2}^{5041}{\frac {dt} {ln^2 t}=131$.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.

[vorvalm]

Из текста сообщения видно, что $K_{\min}=2$.
Какого порядка может быть $K_{\max}$?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #617456 писал(а):

Из текста сообщения видно, что $K_{\min}=2$.
Какого порядка может быть $K_{\max}$?

$K_{\max}<r-1$

[vorvalm]

У вас $r$ переменная величина, но $K$ постояння.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #617611 писал(а):

У вас $r$ переменная величина, но $K$ постояння.

Это имеется в виду для ПСВ - там r фиксировано. посмотрите формулу (4).

[Droog_Andrey]

http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pd/rpb021.pdf

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #617634 писал(а):

http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pd/rpb021.pdf

Спасибо! Как я понял, это о вычислении констант к формуле для близнецов Харди-Литлвуда. Вычисление констант для различных кортежей это отдельная интересная проблема!

[Droog_Andrey]

Так же, как для количества простых используется аппроксимация Римана

$$R(x) = 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^n x}{n! n \zeta(n+1)}$$

для количества $k$-tuplets определённого вида можно использовать

$$R_k(x) = 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^n x}{(n+k-1)! n \zeta(n+1)}$$

умноженную на соответствующую константу Харди-Литлвуда: http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Они рассчитываются согласно http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html

Разумеется, $R_k(x) \sim \int\limits_2^x\frac{dt}{\ln^k t}$, однако $R_k(x)$ лучше работает для небольших $x$.