Спасибо, будем ждать-с.
Это хорошо, что вы поняли насчет средней плотности......
Так как новых замечаний пока не поступало и Руст формулирует
свое понятие равномерности (за что я ему очень благодарен, и которое в дальнейшем обсудим) по просьбе
vorvalm исправляю текст на основании последних замечаний. Поскольку обсуждения идут интересные. Думаю, что это не последние исправления. Заранее благодарен всем участникам обсуждения.
-- 11.09.2012, 15:32 --Количественные оценки некоторых кортежей чисел в последовательности простых чиселРассмотрим приведенную систему вычетов по модулю

- ПСВ(m), где

- простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:

(1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:

(2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:

(3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vovalm "Бесконечность простых близнецов".
Плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:

(4), где r>k+1.
Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности простых чисел.
Теорема

, где

- число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.
Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение

:

.
Используем формулу:

, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:

.
Потенциируем и получаем:

.
Следовательно,

(5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в ПСВ(m):

(6), где

.
Перед рассмотрением пределов отношений функций при x стремящемся к бесконечности поясним, что в этом случае последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.
Тогда предел отношения:

(7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции и асимптотика (6).
Следствие 1
Из формулы (7) и определения асимптотики функций следует:

(8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:

.
Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:

.
Перейдем к пределу:

.
Найдем указанный предел по Лопиталю:

.
Следовательно

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:

(9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:

(10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции

сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию, которые табулированы.
Пусть

.
Тогда
![$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ $C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/7/5a7fda1fd0aac99d10fb312b964b4d5982.png)
(11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
![$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ $C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d01a41a172ec9f3e9efc454e06365a5f82.png)
(12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду:

.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.