Затмения великих математиков

[Cash]

Заинтересовала следующая тема: ошибки и заблуждения великих математиков. Причем, это относится не к смелым гипотезам, типа гипотезы Эйлера об отсутствии решений в натуральных числах уравнения $x_1^k+\cdots+x_{k-1}^k=x_k^k$
а к утверждениям, которые они сами легко могли бы опровергнуть.

Например, утверждение Ферма о числах $F_n = 2^{2^n}+1$.
В 1640 году Ферма писал Мерсенну, что числа $F_0, F_1, F_2, F_3, F_4$ - простые
и высказал предположение, что $F_5=4294967297$, а также все последующие - простые.
В течение более 20 лет Ферма так и не смог ни доказать простоту $F_5$, ни доказать, что оно составное.
Хотя ему было достаточно 32-х возведений в квадрат по модулю $F_5$
$a_0=3, a_{n+1}=a_n^2 \mod F_5$
$a_{32} \neq 1$,
откуда и следует то, что $F_5$ - составное, согласно теореме, открытой им в том же 1640(!) году, что
$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ для простого p.
Интересно, в чем, по-вашему, была причина этой "слепоты"?
Любопытно также узнать о других известных заблуждениях в истории математики.

[bin]

Может не в тему, но о мат. задаче и об академике:

Цитата:

Николай Антонович Доллежа́ль (15 (27) октября 1899 — 20 ноября 2000) — советский инженер-теплотехник, конструктор ядерных реакторов, доктор технических наук, профессор. Академик АН СССР с 1962, дважды Герой Социалистического Труда (1949, 1984). Лауреат Ленинской (1957), трёх Сталинских (1949, 1952, 1953) и двух Государственных премий СССР (1970, 1976). [...] В 1998 году (в возрасте 99 лет) Доллежаль опубликовал в журнале «Наука и жизнь» статью с «решением» (неверным) проблемы трисекции угла. (Википедия)

А это м.б. не затмение автора (т.е. м.б. затмение окружающих):

bin в сообщении #606905 писал(а):

И уже не детское впечатление. Сразу прошу прощение, что про "4 краски", которые отнесены в отдельную тему, но я не про саму задачку, а про отношения в современном мат. сообществе. Про признанное решение на ЭВМ общеизвестно, а про то, что есть книга В. А. Горбатов. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. — М.: Наука. Физматлит, 2000. — С. 253-254, где предложено решение без ЭВМ ("человеческое") все предпочитают стыдливо молчать. А ведь книга рекомендована мин.обр. как учебник, и в википедии упомянута. Но никто не хочет подтверждать или опровергать (за одним исключением - см. Вики). Такая ситуация в нынешней математике потрясает - не вчера книга вышла.

[maxal]

Cash в сообщении #614711 писал(а):

В течение более 20 лет Ферма так и не смог ни доказать простоту $F_5$, ни доказать, что оно составное.

Странная формулировка. С чего вы взяли, что он 20 лет пытался доказать/опровергнуть простоту $F_5$? Вполне вероятно, он высказал гипотезу и забыл про нее, занявшись другими делами.

[Someone]

bin в сообщении #615333 писал(а):

Николай Антонович Доллежа́ль (15 (27) октября 1899 — 20 ноября 2000) — советский инженер-теплотехник, конструктор ядерных реакторов, доктор технических наук, профессор. Академик АН СССР с 1962, дважды Герой Социалистического Труда (1949, 1984). Лауреат Ленинской (1957), трёх Сталинских (1949, 1952, 1953) и двух Государственных премий СССР (1970, 1976). [...] В 1998 году (в возрасте 99 лет) Доллежаль опубликовал в журнале «Наука и жизнь» статью с «решением» (неверным) проблемы трисекции угла. (Википедия)

Вполне типичный случай, когда человек, весьма успешный в области своей профессиональной деятельности, лезет в область, в которой он, мягко выражаясь, слабо разбирается. Но он ведь не только не великий математик, но и вообще не математик.

bin в сообщении #615333 писал(а):

есть книга В. А. Горбатов

Горбатов тоже попал в число великих математиков?

bin в сообщении #615333 писал(а):

Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.

А, ну да, он же придумал название "информационная математика", значит, точно великий.

bin в сообщении #615333 писал(а):

А это м.б. не затмение автора (т.е. м.б. затмение окружающих)

Вам ведь объяснили, что "доказательство Горбатова" основано на гипотезе, о которой известно, что она ложная. Более того, в книге есть "доказательство" этой гипотезы. Следовательно, в его рассуждениях заведомо есть ошибка. Для математиков это однозначно означает, что доказательства нет. И никто не обязан отыскивать ошибку в чужих рассуждениях.

[Cash]

Цитата:

Странная формулировка. С чего вы взяли, что он 20 лет пытался доказать/опровергнуть простоту $F_5$? Вполне вероятно, он высказал гипотезу и забыл про нее, занявшись другими делами.

В примечаниях переводчика к книге Серпинского 250 задач по элементарной теории чисел приводится следующее:

Цитата:

Начиная с 1640 г. Ферма упорно искал доказательство своей ложной теоремы и предлагал найти его своим корреспондентам. В 1659 г. Ферма в письме к Каркави уже указывал, что теорема о простоте чисел $F_n$ может быть доказана методом бесконечного спуска.

Понимаю, что источник - так себе (некто И.Мельников), но вряд ли факты будут перевраны. Мне, по большому счету, интересно другое - неужто Ферма не догадывался о том, какой мощный инструмент по проверке чисел на простоту представляет его малая теорема? Или дальше $a=2$ дело не доходило?

[Someone]

Cash в сообщении #616997 писал(а):

Начиная с 1640 г. Ферма упорно искал доказательство своей ложной теоремы и предлагал найти его своим корреспондентам. В 1659 г. Ферма в письме к Каркави уже указывал, что теорема о простоте чисел $F_n$ может быть доказана методом бесконечного спуска.

Дык, он искал доказательство того, что все числа $F_n$ простые, а конкретно числом $F_5$ не занимался. Нельзя же 20 лет искать искать делитель 641. Даже если проверять по одному делителю в день. Он просто был уверен, что это число простое, и искал доказательство сразу для всех чисел такого вида.
И это не единственный случай, когда Ферма ошибался.

[Cash]

Цитата:

Нельзя же 20 лет искать искать делитель 641

Тем более, что Ферма вполне по силам было определить, что делитель $F_5$ имеет вид $64k+1$. Скорее всего, даже малейшего подозрения, что числа могут быть составными не закрадывалось.

[nnosipov]

Где-то я читал, что Лейбниц переоткрыл одну древнюю китайскую "теорему", которая гласила: если $2^p-2$ делится на $p$, то $p$ --- простое число. Интересно было бы узнать детали, если, конечно, это вообще правда.

[Cash]

Это описано в тех же примечаниях переводчика к "250 задач..." Серпинского. с.140, "Математическое Просвещение" изд.1968 года . Но никакой фактуры нет и в это уже верится с большим трудом. Возможно выдвигал в качестве гипотезы? Ведь и доказательство малой теоремы Ферма он не опубликовывал?

[migmit]

Someone в сообщении #616932 писал(а):

Вам ведь объяснили, что "доказательство Горбатова" основано на гипотезе, о которой известно, что она ложная.

Брейк. Пост bin-а, который вы комментируете, был написан ДО того, как я посмотрел книжку Горбатова и написал своё объяснение.

[nnosipov]

Cash в сообщении #617064 писал(а):

Это описано в тех же примечаниях переводчика к "250 задач..." Серпинского. с.140, "Математическое Просвещение" изд.1968 года .

Точно, там и видел.

[Someone]

migmit в сообщении #617067 писал(а):

Брейк. Пост bin-а, который вы комментируете, был написан ДО того, как я посмотрел книжку Горбатова и написал своё объяснение.

Да, на несколько часов раньше. Прошу прощения за необоснованный наезд.
Но мне это сообщение попалось на глаза только что, а сверять время отправления мне в голову не пришло.