Определение обратной матрицы

[DENIS1980]

Существуют ли две квадратные матрицы такие, что $AB=E$, но $BA\neq E$? То есть в определении обратной матрицы не лишне ли одно из двух равенств?

[Mitrius_Math]

Наверное, такие матрицы существуют в силу некоммутативности умножения матриц (не уверен), но в таком случае матрица B не является обратной к матрице А.

[DENIS1980]

Mitrius_Math в сообщении #616472 писал(а):

Наверное, такие матрицы существуют в силу некоммутативности умножения матриц (не уверен), но в таком случае матрица B не является обратной к матрице А.

Да, но тут играет значение, что произведение $AB$ именно равно единичной матрице, тогда из этого следует, что они коммутируют. Вопрос верно ли это и как доказать этот факт. И важно что матрицы над полем действительных чисел

[Nemiroff]

Для конечных матриц хватит определения в одну сторону.

[Munin]

Пусть $AB=E.$

Квадратные матрицы - это линейные функции из векторного пространства в него самого. А произведение матриц даёт композицию функций.

Рассмотрим базис этого пространства. Функция $B$ переводит его в линейно-независимую систему векторов, потому что если какой-то вектор будет переведён $B$ в линейно-зависимый от других, то это и дальше сохранится (по линейности), и $AB$ тоже переведёт его в линейно-зависимый от других. Размерность целевого пространства функции $B$ та же, что и у исходного, так что функция $B$ переводит базис тоже в базис (вот в этом месте используется конечномерность пространства). Скажем, базис $\varepsilon$ в базис $\beta.$

Поскольку $AB$ - тождественная функция, то функция $A$ переводит $\beta$ обратно в $\varepsilon,$ с сохранением порядка векторов. Отсюда, $BA$ действует тождественно на $\beta$ (переводит каждый его вектор сам в себя). Поскольку все векторы выразимы через базис, то из линейности $BA$ следует, что она тождественно действует и на все векторы, то есть $BA=E.$

[alcoholist]

DENIS1980 в сообщении #616484 писал(а):

И важно что матрицы над полем действительных чисел

нет, это не важно

[Padawan]

Munin в сообщении #616492 писал(а):

Пусть $AB=E.$

Квадратные матрицы - это линейные функции из векторного пространства в него самого. А произведение матриц даёт композицию функций.

Рассмотрим базис этого пространства. Функция $B$ переводит его в линейно-независимую систему векторов, потому что если какой-то вектор будет переведён $B$ в линейно-зависимый от других, то это и дальше сохранится (по линейности), и $AB$ тоже переведёт его в линейно-зависимый от других. Размерность целевого пространства функции $B$ та же, что и у исходного, так что функция $B$ переводит базис тоже в базис (вот в этом месте используется конечномерность пространства). Скажем, базис $\varepsilon$ в базис $\beta.$

Поскольку $AB$ - тождественная функция, то функция $A$ переводит $\beta$ обратно в $\varepsilon,$ с сохранением порядка векторов. Отсюда, $BA$ действует тождественно на $\beta$ (переводит каждый его вектор сам в себя). Поскольку все векторы выразимы через базис, то из линейности $BA$ следует, что она тождественно действует и на все векторы, то есть $BA=E.$

Как сложно! Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю, а из теоремы о произведении определителей следует, что $\det A\det B=\det(AB)=\det E=1$, значит $\det A\neq 0,\det B\neq 0$.

[nnosipov]

Padawan в сообщении #616502 писал(а):

Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю, а из теоремы о произведении определителей следует, что $\det A\det B=\det(AB)=\det E=1$, значит $\det A\neq 0,\det B\neq 0$.

Без теории определителей здесь можно (да и нужно, на мой взгляд) обойтись. Естественный критерий обратимости матрицы $A$ --- полнота её ранга. Его и надо доказывать. В процессе доказательства для матрицы $A$ полного ранга находится такая $B$, что $AB=E$ (очевидно, если вспомнить про метод Гаусса). Эта $B$ также имеет полный ранг (потому что ранг произведения не превосходит ранга каждого из сомножителей --- легкое, но полезное упражнение), поэтому по тем же причинам найдётся $C$, такая, что $BC=E$. Из равенств $AB=E$ и $BC=E$ следует $C=A$.

Это то же самое, что предложил Munin, только без линейных отображений (их в курсе алгебры обычно излагают позже, по крайней мере, математикам). Впрочем, подобные вещи имеет смысл обсуждать в контексте конкретного курса. Вдруг найдутся любители начинать курс с теории определителей, мало ли.

[Oleg Zubelevich]

Задача (простая). Привести пример ограниченных операторов $A,B:H\to H$ гильбертова пространства для которых $AB=E$ но $BA\ne E$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #616518 писал(а):

Задача (простая)

, но лишняя.

Oleg Zubelevich в сообщении #616518 писал(а):

гильбертова пространства

В гильбертовом -- любая неунитарная изометрия. Но почему обязательно в гильбертовом?..

-- Вс сен 09, 2012 14:08:30 --

nnosipov в сообщении #616514 писал(а):

Впрочем, подобные вещи имеет смысл обсуждать в контексте конкретного курса.

Да. Дело в том, что с рангом некоторая проблема: то, что он не меняется при транспонировании -- факт изначально довольно неочевидный, если ранг не привязывать к минорам. А если привязывать -- то, напротив, дающийся даром. Поэтому (и не только поэтом) давать определители перед обратной матрицей -- стратегия вполне распространённая и достаточно естественная.

[Munin]

Padawan в сообщении #616502 писал(а):

Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю

Это тоже надо доказывать, а понятие обратной только введено и никаких фактов о ней нет. О связи обратимости с рангом тоже, я полагал, не введено.

[nnosipov]

Munin в сообщении #616630 писал(а):

О связи обратимости с рангом тоже, я полагал, не введено.

Про ранг можно не говорить. Да и линейные отображения по существу не нужны. Единственный нужный факт: любая линейно независимая система из $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ является базисом.

[DENIS1980]

Вообщем-то, все ясно, в определении обратной матрицы достаточно требовать лишь одного равенства. Для конечномерных матриц левая обратная совпадает с правой обратной. Только тогда зачем во всех учебниках в определении обратной требуют оба равенства, да и некоторые преподаватели для проверки правильности нахождения требуют проверять оба соотношения, мол при выполении одного из них второе может и не выполняться.

[nnosipov]

DENIS1980 в сообщении #616653 писал(а):

некоторые преподаватели для проверки правильности нахождения требуют проверять оба соотношения, мол при выполении одного из них второе может и не выполняться.

Запишите на диктофон, потом предъявите доказательство достаточности выполнения одного равенства. Вещдоки сдайте в деканат.

[Munin]

nnosipov в сообщении #616649 писал(а):

Да и линейные отображения по существу не нужны. Единственный нужный факт: любая линейно независимая система из $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ является базисом.

Тогда получается то, что я написал.

Линейность отображений нужна. Представьте себе отображение нелинейное, которое переводит базис тождественно в себя, но другие векторы - не в себя.