Помогите доказать 4 утверждения Архимеда

[Tanya2117]

1. Между двумя рациональными числами обязательно есть рациональное число.
2. Между двумя рациональными числами есть иррациональное число.
3. Между иррациональными числами есть рациональное число.
4. Между иррациональными числами есть иррациональное число.

Помогите, пожалуйста, доказать эти 4 утверждения((

[Mitrius_Math]

1) Пусть $x=\frac{a}{b}$ и $y=\frac{c}{d}$ - данные рациональные числа, причём $x>y$. Пусть $z=\frac{1}{2} \left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)$...

[Keter]

Tanya2117, можете посмотреть Виленкин 1 том Задачи по курсу мат анализа

[Профессор Снэйп]

Скажем, что множество $A \subseteq \mathbb{R}$ $q$-периодично, если $a \in A \Rightarrow a \pm q \in A$.

1) Докажите, что множества рациональных и иррациональных чисел $q$-периодичны для любого $q \in \mathbb{Q}$.

2) Докажите, что если $x < y$ и $0 < q < y-x$, то интервал $(x,y)$ содержит элементы любого непустого $q$-периодичного множества.