2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Демидович. Метод мат. индукции
Сообщение06.09.2012, 20:37 


06/09/12
6
Помогите с заданием из Демидовича, пожалуйста.
Доказать неравенство:
$n^{n+1} > (n+1)^{n} (n \ge 3)$

$При n = 3: 3^{4} > 4^{3}$
Предполагаем, что:$ n^{n+1} > (n+1)^{n}$
Требуется доказать, что: $(n+1)^{n+2} > (n+2)^{n+1}$

Дальше надо по-видимому как-то свести $(n+1)^{n+2}$ к $n^{n+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Метод мат. индукции
Сообщение06.09.2012, 20:44 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
А именно требуется по индукции доказать?
Ведь если доказываемое неравенство привести к виду:
\[n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\]
то это уже на что-то похоже, не так-ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Метод мат. индукции
Сообщение06.09.2012, 20:48 


06/09/12
6
Именно по индукции :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Метод мат. индукции
Сообщение06.09.2012, 21:32 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
В неравенстве $n^{n+1}>(n+1)^n$ умножим обе части на число
$\dfrac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}$ ,
тогда получим следующее:
\begin{multline*}
(n+1)^{n+2}>(n+1)^n\cdot\frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}=\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}=\\=
\frac{((n+1)^{2})^{n+1}}{n^{n+1}}={\left(\frac{n^2+2n+1}{n}\right)}^{n+1}={\left(n+2+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>\\ 
>(n+2)^{n+1}.
\end{multline*}

А так ведь, если перейти к доказательству неравенства $n>\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ при $n\geqslant3$, то надо по сути сослаться на доказательство 2-го замечательного предела для натурального аргумента.

(Оффтоп)

chessar в сообщении #615657 писал(а):
А именно требуется по индукции доказать?
Shurshit в сообщении #615660 писал(а):
Именно по индукции :-)
Я собственно увидел "Демидовича" в названии и взглянул на неравенство и сразу на ум пришли пределы, ряды, ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Метод мат. индукции
Сообщение06.09.2012, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Shurshit, логарфмируйте, а 2 полученные суммы интегралами зажмите сверху и снизу. Просто логарфмируйте, получите очевидное неравнество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Метод мат. индукции
Сообщение07.09.2012, 18:20 


06/09/12
6
Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group