Демидович. Метод мат. индукции

[Shurshit]

Помогите с заданием из Демидовича, пожалуйста.
Доказать неравенство:
$n^{n+1} > (n+1)^{n} (n \ge 3)$

$При n = 3: 3^{4} > 4^{3}$
Предполагаем, что:$ n^{n+1} > (n+1)^{n}$
Требуется доказать, что: $(n+1)^{n+2} > (n+2)^{n+1}$

Дальше надо по-видимому как-то свести $(n+1)^{n+2}$ к $n^{n+1}$.

[chessar]

А именно требуется по индукции доказать?
Ведь если доказываемое неравенство привести к виду:

\[n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\]

то это уже на что-то похоже, не так-ли?

[Shurshit]

Именно по индукции

[chessar]

В неравенстве $n^{n+1}>(n+1)^n$ умножим обе части на число
$\dfrac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}$ ,
тогда получим следующее:
\begin{multline*} (n+1)^{n+2}>(n+1)^n\cdot\frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}=\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}=\\= \frac{((n+1)^{2})^{n+1}}{n^{n+1}}={\left(\frac{n^2+2n+1}{n}\right)}^{n+1}={\left(n+2+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>\\ >(n+2)^{n+1}. \end{multline*}

А так ведь, если перейти к доказательству неравенства $n>\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ при $n\geqslant3$, то надо по сути сослаться на доказательство 2-го замечательного предела для натурального аргумента.

(Оффтоп)

chessar в сообщении #615657 писал(а):

А именно требуется по индукции доказать?

Shurshit в сообщении #615660 писал(а):

Именно по индукции

Я собственно увидел "Демидовича" в названии и взглянул на неравенство и сразу на ум пришли пределы, ряды, ...

[xmaister]

Shurshit, логарфмируйте, а 2 полученные суммы интегралами зажмите сверху и снизу. Просто логарфмируйте, получите очевидное неравнество.

[Shurshit]

Спасибо большое!