Пересечение эллипсов

[DDuMoH]

Можно ли найти точки пересечения двух произвольных эллипсов не численными методами?
Произвольных в прямом смысле этого слова: с любыми поворотами и сдвигами относительно начала координат, т.е. мы имеем:
$a_1x^2+a_2y^2+a_3xy+a_4x+a_5y+a_6=0$
$b_1x^2+b_2y^2+b_3xy+b_4x+b_5y+b_6=0$
Очевидно, что теми же поворотами и сдвигами координат, можно привести один из эллипсов к каноническому виду, но, внимание, лишь один:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
$c_1x^2+c_2y^2+c_3xy+c_4x+c_5y+c_6=0$
Итак, мы имеем, вообще говоря, систему нелинейных уравнений с 4,3,2,1 решениями либо с их отсутствием(исходя из возможного количества точек пересечения двух эллипсов). Очевидно предположить, что это должно быть уравнение 4ой степени, для которого существуют решения в радикалах(над действительным полем). Но как получить это уравнение 4ой степени для любой из переменных? Банальное равенство ни к чему не приводит, какой смысл таскать за собой корни:
$x^2=a^2(1-\frac{y^2}{b^2})$

[Mitrius_Math]

Почитайте про результант многочленов (Винберг, Алгебра многочленов, с. 43 и далее, с. 101 и далее).

[DDuMoH]

Дело в том, что алгебра многочленов это, конечно, хорошо, но результант всё-таки скорее имеет отношение к многочленам одной переменной - именно то, что меня интересует: способ получения такого многочлена, ну и последующее отыскание корней.

[Mitrius_Math]

DDuMoH, так ведь многочлен от двух переменных можно рассматривать как многочлен от одной переменной, а вторую считать параметром. В той книге есть пример.

[DDuMoH]

Mitrius_Math
Параметр всмысле тригонометрической замены? У параметра должна быть задана область изменения так, чтобы описать исходную функцию(в нашем случае неявную). Насколько я знаю рекомендуемый учебник - суть ликбез по введению в алгебру первого курса с которой я худо бедно знаком. Вообще оставил пост в надежде на явный тычок в мою тупоголовость - вдруг сослепу не вижу какого-нибудь банального преобразования/замены переменных, приводящего к искомому уравнению 4ой степени.

[ИСН]

Зачем, зачем Вам уравнение 4 степени? Его решать по формулам - это всё равно что не решать. Один чёрт, придётся делать численно. А численно можно делать и сразу эту систему, какая уж разница.
Преобразование наверняка банальное. Я сильно подозреваю, что Вам на него и указывают, но проверять мне лень, поэтому зайду с другой стороны. Умножаем первое уравнение на t, второе на (1-t), и складываем. Получилась некая кривая второго порядка, всё ещё проходящая через наши искомые точки (if any). Подбираем (вот здесь-то и будет уравнение) такое значение t, чтобы кривая выродилась, т.е. распалась на две прямые. Ну а прямую с эллипсом пересечь - это мы и без парашюта можем, правда?

[armez]

Умножая первое уравнение на $b_1$, второе - на $a_1$ и вычитая одно из другого, получаем уравнение, линейное относительно х. Выражаем из него х через у (при этом выражение будет, вообще говоря, квадратичным по у) и подставляем в одно из данных уравнений. Так и получаем уравнение 4-й степени относительно у.

В принципе, эти выкладки эквивалентны приравниванию нулю результанта двух данных многочленов по переменной у с исключением переменной х. Развитие этой методики привело к появлению теории исключения.