Целые корни многочлена и его производной

[Edward_Tur]

Многочлен степени $n$ имеет целые корни $x_1<x_2<...<x_n$. Корни его производной - также целые числа.
Найти $\min (x_n-x_1)$ для $n=3$.

[Руст]

Пусть $x_i$ корни многочлена, $y_i$ корни производной $x_1<y_1<...<y_{n-1}<x_n$.
Так как $f'(x)=f(x)\sum_i \frac{1}{x-x_i}$ получаем уравнение для $y_i$:
$\sum_{i\le j} \frac{1}{y_j-x_i}=\sum_{i>j}\frac{1}{x_i-y_j}=0$. Эта сумма обратных к натуральным числам.
Для $n=3$ общее решение

$$y_1-x_1=am_1, x_2-y_1=a(m_1+1),x_3-y_1=am_1(m_1+1),$$

$$y_2-x_1=bm_2(m_2+1),y_2-x_2=b(m_2+1),x_3-y_2=bm_2.$$

При этом

$$x_3-x_1=am_1(m_1+2)=bm_2(m_2+2),$$ $$ x_2-x_1=a(2m_1+1)=b(m_2^2-1), x_3-x_2=b(2m_2+1)=a(m_1^2-1)$$

Получаем систему двух уравнений относительно$m_1,m_2$:

$$m_1(m_1+2)(m_2^2-1)=m_2(m_2+2)(2m_1+1),$$

$$m_2(m_2+2)(m_1^2-1)=m_1(m_1+2)(2m_2+1).$$

Очевидно, что целого решения $m_1=m_2$ не существует.
Мне это напоминает задачу, которая не имеет решения.

[nnosipov]

Руст в сообщении #615386 писал(а):

Мне это напоминает задачу, которая не имеет решения.

Вы хотите сказать, что такой ситуации:

Edward_Tur в сообщении #615322 писал(а):

Многочлен степени $n$ имеет целые корни $x_1<x_2<...<x_n$. Корни его производной - также целые числа.

не бывает?

[Руст]

Решение существует с кратными корнями $f(x)=x^2(x-6)$, я рассмотрел не кратные.

[nnosipov]

Но у автора корни предполагаются простыми. Ладно, поглядим.

Нет, что-то у Вас не так. Вот пример такого многочлена: $f(x)=x^3-12x^2-99x+810$. Похоже, что на этом многочлене минимум и достигается. А доказательство довольно простое.

[Руст]

Да, это кажется единственное решение $m_1<m_2$, с точностью до преобразования $(m_1,m_2)\to (m_2,m_1)$.
Здесь $m_1=2,m_2=4,L=x_3-x_1=15+9=24$. Соответственно многочлен единственен с точностью до сдвига оси на целое число, переворота оси, растяжения и некоторого множителя.
Доказательство. Ищем решение $m_1<m_2$.
$m_1=1$ не дает решения. $m_1=2$ дает $m_2=4$.
$m_3=3$ не дает.
Если $m_3\ge 4$, то $f(m_1)=\frac{m_1(m_1+2)}{2m_1+1}=g(m_2)=\frac{y(y+2)}{y^2-1}=O(1)$ и $g(m_2)=f(m_1)$ не выполняются.

[_Ivana]

Да, решая перебором систему уравнений $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}(x_2 + x_3), y_1 y_2 = \frac{1}{3}x_2 x_3$ для натуральных аргументов, находим минимальное $x_3 = 24$ и многочлен $x(x - 9)(x - 24)$ или, что то же самое с точностью до переворота оси $x(x - 15)(x - 24)$
Однако, следующие корни будут не 18 и 48 (как масштабированные в 2 раза по оси x), а 21 и 45 или 24 и 45, т.е многочлены вида $x(x - 21)(x - 45)$ и его условно зеркальный брат $x(x - 24)(x - 45)$ также удовлетворяют условию задачи, значит предположение о единственности такого многочлена с точностью до коэффициентов по обоим осям и зеркальному перевороту неверно.

[Руст]

Верно, $m_1,m_2$ не обязаны быть целыми, целыми должны быть $a,am_1,b,bm_2$.
Ваше решение соответствует $a=3,m_1=3, b=4,m_2=2,5$.
Соответственно, чтобы найти все решения вышеприведенную систему относительно $m_1,m_2$ надо решать в рациональных больше 1 и дальше вычислить $a,b$, определенного с точностью до умножения минимального набора на натуральное число.

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #615551 писал(а):

значит предположение о единственности такого многочлена с точностью до коэффициентов по обоим осям и зеркальному перевороту неверно.

Конечно, многочленов, удовлетворяющих условию задачи, бесконечно много. Но таких, которые доставляют искомый минимум, мало --- по существу всего лишь один.

Кстати, вот задача немного поинтересней: описать все возможные значения разности $x_3-x_1$. (Минимальное, как мы знаем, равно $24$.)

[_Ivana]

Речь не о том, что их много, а о том, что не все они являются вариациями единственного многочлена в результате его масштабирования по осям и отображения, что и было показано. Разумеется, для решения задачи это несущественно, я это показал только потому, что высказывались предположения о единственности базового многочлена. А решение найдено: 24. Но доказывает его каждый как ему удобно. Мне, например, удобнее мою систему решать в натуральных числах (причем, х1 и х2 кратны трем), и находить как все такие многочлены, так и доказать минимальность с корнями 0, 9, 24. Среди кратных трем корням исходного многочлена число сочетаний до 24 будет всего несколько - легко проверить что они не удовлетворяют условию. А кому-то может и удобнее в рациональных аргументах системы решать - но мне это видится более сложным.

[Руст]

Нашел все решения: $m_1=1+\frac{m}{n}, m_2=1+\frac{3n}{m}, a=3kn^2,b=km^2$ и
$x_1=0,x_2=3kn(3n+2m),L=x_3=3k(m+n)(m+3n)$,
где $m,n$ взаимно простые натуральные числа, $3k$ натуральное, если $3\not |n$, то $k$ - натуральное.
Остальные получаются сдвигом и переворачиванием оси х.

[nnosipov]

Руст в сообщении #615681 писал(а):

$x_1=0,x_2=3kn(3n+2m),L=x_3=3k(m+n)(m+3n)$,
где $m,n$ взаимно простые натуральные числа, $3k$ натуральное, если $3\not |n$, то $k$ - натуральное.

Да, что-то в этом духе. Достаточно параметризовать рациональные точки на соответствующей гиперболе.

[_Ivana]

Ну вот наконец и пришли от отсутствия решения через его единственность к аналитическому виду всех классов множественности :)
А если серьезно - то впечатляет, я не додумался. Красиво и изящно.
ЗЫ судя по всему я попал на интересный форум. Спасибо.

[Руст]

Цитата:

Да, что-то в этом духе. Достаточно параметризовать рациональные точки на соответствующей гиперболе.

Это на самом деле все решения, только причем тут гипербола?

Оказывается следующее минимальное расстояние не 45, а 40 - х(х-33)(х-40).

[_Ivana]

Руст в сообщении #615848 писал(а):

Оказывается следующее минимальное расстояние не 45, а 40 - х(х-33)(х-40).

Как-то странно оказывается.... Перепроверил три раза - или я уже разучился брать производные от многочлена и решать квадратные уравнения, или все-таки это утверждение неверно и корни производной при этом получаются 12 и 36.6666....... Моя банальная система уравнений в натуральных аргументах говорит от том, что при x1 = 0 x2 и x3 должны быть кратны трем. Получается, надо исправлять приведенное красивое решение в общем виде?