Целые корни многочлена и его производной

[Руст]

опять ошибся

Руст в сообщении #615681 писал(а):

Нашел все решения: $3k$[/math] натуральное, если $3\not |n$, то $k$ - натуральное.

надо $k$ натуральное, если $3\not |m$. При этом случай $n=1,m=3, k=\frac 13$ не дает ничего нового.

[nnosipov]

Руст в сообщении #615848 писал(а):

только причем тут гипербола?

Если корни обозначить $0$, $3b$, $3c$, где $0<b<c$ --- целые числа, то, решая квадратное уравнение для производной, получим, что $c^2-bc+b^2=x^2$ --- точный квадрат. Поделив на $b^2$, получим гиперболу $(c/b)^2-(c/b)+1=(x/c)^2$. Впрочем, если поделить на $x^2$, то будет эллипс --- коническая поверхность всё-таки :)

[TR63]

Я не поняла: базовый многочлен, доставляющий минимум исходной задаче, единственен или нет? Если, как я поняла, базовый многочлен не единственен, то у меня получается (при рассмотрении задачи в множестве многочленов с модулем суммы корней $\geq12$) единственен при ($x_i\neq0$)
Для доказательства достаточно рассмотреть задачу в одной точке, т.е. при $x_1+x_2+x_3=12$. Это делается довольно просто.

[_Ivana]

Единственен с точностью до умножения на константу, сдвига x на любое целое число и симметрии расположения среднего корня между двумя крайними. Это следует напрямую из условия. В этом смысле ваше ограничение на модуль суммы корней и неравенство их нулю выглядит несколько странным.

Цитата:

Это делается довольно просто.

Гораздо легче, чем вам написать этот многочлен в явном виде?

[TR63]

_Ivana,
для меня главное, чтобы в отрицании, рассматриваемого мною множества многочленов, было мало, т.е. ограниченное количество (но не равное нулю) базовых многочленов. Тогда, по крайней мере для меня, задача решается просто. Получается многочлен, который указал nnosipov. Обоснование справедливости того, что в указанной точке получается именно этот многочлен, я смогу привести (но позже). Может, кому-то интересно это сделать самостоятельно. Что касается прочего, то я исхожу из технологии, которая на данный момент на этом Форуме не опровергнута. Т.е., я считаю, её можно рассматривать как интуиционистскую. (хотя бы на начальном этапе решения любой задачи). При определённых условиях она может быть доказана. Но это отдельная тема, касающаяся теории устойчивости.

[TR63]

Рассмотрим случай, когда в $f(x)=x^3+ax^2+bx+c, f'=3x^2+2ax+b=3(x^2+{\frac2 3}ax+\frac b 3)$
1) $a=-12, c>0$
$y_1+y_2=-8, y^2-8y+\frac b 3=0, y=4\pm\sqrt{16-\frac b 3}, b=-99$
Учитывая, что $c>0$ получаем для положительного x (хотябы одного) из неравенства
$x^3-12x^2-99x<0, 11<x\le17$. (Учли, что существует $y<x$).
Перебором (можно логически) подходит $x_2=15$. По теореме Виета находим $x_1, x_3$.
2) $c<0$.
Граница для коэффициента (a) мною найдена с помощью операции "двойного отрицания" от области для устойчивых многочленов без кратных корней.

-- 14.09.2012, 16:25 --

Вместо $x_2$ следует писать$ x_3$. И наоборот.

[Edward_Tur]

Многочлен степени $n$ имеет целые корни $x_1<x_2<...<x_n$. Корни его производной - также целые числа.
$\min (x_n-x_1)$ для $n=4$ достигается на многочлене $x(x-6)(x-8)(x-14)$, для $n=5$ достигается на многочлене $x(x-180)(x-285)(x-460)(x-780)$.

[Руст]

Любопытно, что для n=4 даже меньше. Этого не будет, если требовать, чтобы корни всех производных вплоть до первой степени были целыми.

[TR63]

Руст,
очень интересная конструкция, но сложная в вычислительном плане (для меня). Хочу сказать, что любое качество определяется набором других качеств. Утрата из этого набора некоторого количества качеств ведёт к изменению основного качества. Т.е., было бы интересно узнать, как такая потеря связана с разрешимостью уравнений в радикалах. Я рассматривала этот вопрос на более лёгкой конструкции, но с теорией Галуа не сравнивала (сложно). В таком направлении строила контрпример к теореме Гурвица.
Гипотеза. Для того, чтобы уравнение степени $n=5$ было разрешимо в радикалах с помощью общей формулы необходимо, чтобы не существовало качества, присущего уравнениям степени $n\le4$ и не присущего уравнению степени $n=5$.
Думаю, если исследовать гипотезу на Вашей конструкции, то может получиться интересный результат.