Конечно порождённый модуль

[Unconnected]

Утверждение: любой конечно порождённый над евклидовым кольцом модуль без кручения - свободен.
Как контрпример $R:=Z, Q:=(Q,+)$ - модуль без кручения, не являющийся свободным.
Как это доказать? Я так понимаю, надо взять отображение $\varphi$ из образующих $Q$ ($X:=\frac{1}{1},\frac{1}{2}$,...,$\frac{1}{n}$) в любой левый модуль (самый простой $_{Z}Z$), и найти два гомоморфизма, т.ч. их сужение на $X$ будет совпадать с $\varphi$. Или как-то иначе надо?

[AV_77]

Unconnected в сообщении #615332 писал(а):

Утверждение: любой конечно порождённый над евклидовым кольцом модуль без кручения - свободен.
Как контрпример $R:=Z, Q:=(Q,+)$ - модуль без кручения, не являющийся свободным.

$\mathbb{Q}$ не является конечно порожденным над $\mathbb{Z}$.

[Unconnected]

Ну да,вот я и пытаюсь это показать..(доказываю контрпример,а не теорему).

[alcoholist]

Unconnected в сообщении #615473 писал(а):

Ну да,вот я и пытаюсь это показать

что именно показать? Что

AV_77 в сообщении #615444 писал(а):

$\mathbb{Q}$ не является конечно порожденным над $\mathbb{Z}$

?

[muzeum]

Почти очевидно, что любой конечно порожденный модуль без кручения над Z является свободным.
Рассмотрите модули над кольцом многочленов Q[x].

[Unconnected]

Я хочу показать, что $Q$ над $Z$ не является свободным.
Кстати, формулировка теоремы ведь не исключает того факта, что может найтись какой-то бесконечно порождённый модуль без кручения, т.ч. он свободен?

[alcoholist]

от противного:
если базис $\{e_i\}$, то единственно разложение

$$ q=\sum n_i(q)e_i. $$

Функции $n_i:\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ обладают замечательными свойствами? поэтому таких функций нет)))

[Unconnected]

Не понял, что ещё за замечательные свойства?

[alcoholist]

Unconnected в сообщении #615616 писал(а):

Не понял, что ещё за замечательные свойства?

$\sum n_i(q+q')e_i=q+q'=\sum n_i(q)e_i+\sum n_i(q')e_i=\sum(n_i(q)+n_i(q'))e_i$

теперь посчитайте $n_i(e_i/2)$

[muzeum]

Я, было, думал, что Вы хотите опровергнуть вот это:

Цитата:

Утверждение: любой конечно порождённый над евклидовым кольцом модуль без кручения - свободен.

, но Вы, похоже, хотите это доказать?
Забавно, но все же...
Унитарные модули над $Z$ образуют в точности ту же категорию, что и просто абелевы группы (абелева группа является унитарным модулем и это соответствие взаимно-однодозначно с сохранением морфизмов).
$Q$ является делимой группой, т.е. для любого ее элемента $x$ и любого натурального $n$ имеется такой $y$, что $ny=x$. Докажите, что таковы же и все гомоморфные образы $Q$. Сделайте вывод.

[AV_77]

Unconnected в сообщении #615523 писал(а):

Я хочу показать, что $Q$ над $Z$ не является свободным.

Модуль свободен, если у него существует система свободных образующих $e_i$, то есть такая система, в которой из $\sum a_i e_i = 0$, $a_i \in \mathbb{Z}$, следует, что $a_i = 0$. Однако очевидно, что $\mathbb{Q}$ не является циклической группой, а любое множество из двух или более рациональных чисел линейно зависимо над $\mathbb{Z}$.

Unconnected в сообщении #615523 писал(а):

Кстати, формулировка теоремы ведь не исключает того факта, что может найтись какой-то бесконечно порождённый модуль без кручения, т.ч. он свободен?

Нет конечно. В качестве примера такого модуля над $\mathbb{Z}$ можно взять прямую сумму бесконечного числа групп $\mathbb{Z}$.