Ну во-первых, сначало Вам надо было убедиться в существовании экстремальных точек (например используя теорему Вейерштрасса и ее следствие). После определения стационарных точек, воспользоваться достаточными условиями. Т.к. в Вашей задаче нет ограничений неравенств и всего одно ограничение в виде равенства, то эти условия сводятся к одному:

(если всё-таки это не выполнено, брать

). После этого определить характеры точек экстремума (выбрать минимум(ы) и максимум(ы)).
И во-вторых, я бы составил вот такую функцию Лагранжа:
![\[
L(\mathbf{x},\mathbf{\lambda})=\lambda_0f(x_1,x_2,x_3)+\lambda_1g(x_1,x_2,x_3)
\] \[
L(\mathbf{x},\mathbf{\lambda})=\lambda_0f(x_1,x_2,x_3)+\lambda_1g(x_1,x_2,x_3)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/5/d65621caea4533ace93d6531558e23cd82.png)
и далее бы рассмотрел два случая: 1)

и 2)

(учитывая условие, что все

не должны одновременно равняться 0).