Метод множителей Лагранжа

[geniy88]

Начал решать такую вот задачу максимизации, но докончить никак немогу:

$max f(\vec{x}) = x_{1}x_{2} x_{3}$
$g(\vec{x})=2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})-A=0$

Я построил функцию Лагранжа

$\ L(x_{1}, x_{2}, x_{3}, y)=x_{1}x_{2}x_{3}+y(2[x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3}]-A)$

и нашел решение этой системы

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=\sqrt{\frac{A}{6}} ,$ $y=-\frac{\sqrt{\frac{A}{6}}}{4}$

Как проверить является ли оно точкой максимума?

-- Ср сен 05, 2012 07:34:17 --

системы

$L_{x_{1}}=0, L_{x_{2}}=0, L_{x_{3}}=0, g(x)=0 $

[chessar]

Ну во-первых, сначало Вам надо было убедиться в существовании экстремальных точек (например используя теорему Вейерштрасса и ее следствие). После определения стационарных точек, воспользоваться достаточными условиями. Т.к. в Вашей задаче нет ограничений неравенств и всего одно ограничение в виде равенства, то эти условия сводятся к одному: $y>0$ (если всё-таки это не выполнено, брать $y=0$). После этого определить характеры точек экстремума (выбрать минимум(ы) и максимум(ы)).
И во-вторых, я бы составил вот такую функцию Лагранжа:

\[ L(\mathbf{x},\mathbf{\lambda})=\lambda_0f(x_1,x_2,x_3)+\lambda_1g(x_1,x_2,x_3) \]

и далее бы рассмотрел два случая: 1) $\lambda_0=0$ и 2) $\lambda_0=1$ (учитывая условие, что все $\lambda$ не должны одновременно равняться 0).

[мат-ламер]

chessar в сообщении #614981 писал(а):

После определения стационарных точек, воспользоваться достаточными условиями. Т.к. в Вашей задаче нет ограничений неравенств и всего одно ограничение в виде равенства, то эти условия сводятся к одному: $y>0$ (если всё-таки это не выполнено, брать $y=0$).

Откуда это?

-- Ср сен 05, 2012 11:57:08 --

chessar в сообщении #614981 писал(а):

Ну во-первых, сначало Вам надо было убедиться в существовании экстремальных точек (например используя теорему Вейерштрасса и ее следствие).

В задаче, по-видимому, речь идёт о локальном экстремуме.

-- Ср сен 05, 2012 12:02:07 --

geniy88 в сообщении #614971 писал(а):

Как проверить является ли оно точкой максимума?

Любопытно (поскольку этот вопрос повторяется на форуме регулярно), на лекциях это не рассказывают?
Учебник открыть не пробовали? Исследуется вторая производная на неотрицательную определённость (но не на всём пространстве).

[chessar]

мат-ламер в сообщении #615017 писал(а):

Откуда это?

Из книжек.

мат-ламер в сообщении #615017 писал(а):

В задаче, по-видимому, речь идёт о локальном экстремуме.

Об условном экстремуме.

[мат-ламер]

chessar в сообщении #615023 писал(а):

Из книжек.

А не путаете ли Вы ограничения в виде равенств и неравенств?

chessar в сообщении #615023 писал(а):

Об условном экстремуме

Допустим о локальном условном экстремуме. Причём здесь теорема Вейерштрасса?

[chessar]

мат-ламер в сообщении #615039 писал(а):

А не путаете ли Вы ограничения в виде равенств и неравенств?

Да, извиняюсь, перепутал. Никаих условий тогда не нужно (не для тех ограничений применил условие дополняющей нежесткости). И еще там у меня опечатка, вместо $\lambda_0=1$ надо $\lambda_0=-1$ (задача ведь на максимум)

мат-ламер в сообщении #615039 писал(а):

Допустим о локальном условном экстремуме. Причём здесь теорема Вейерштрасса?

В общем-то и не причём, но в некоторых случаях (скажем, когда получена только одна точка и ограничения представляют компакт) позволяет сразу определить, что найденная точка является максимумом (или минимумом).

[bot]

(Воспользуйтесь поиском)

мат-ламер в сообщении #615017 писал(а):

этот вопрос повторяется на форуме регулярно

Совершенно верно - множителей Лагранжа здесь на форуме, как у дурака махорки.

chessar в сообщении #615046 писал(а):

А теорема Вейерштрасса при том, например, ...

Вы про достижимость экстремальных значений непрерывной функцией на компакте?
Так ведь здесь уравнение связи даёт неограниченную поверхность.

[chessar]

bot в сообщении #615050 писал(а):

Вы про достижимость экстремальных значений непрерывной функцией на компакте?
Так ведь здесь уравнение связи даёт неограниченную поверхность.

Да, Вы правы.

bot в сообщении #615050 писал(а):

Совершенно верно - множителей Лагранжа здесь на форуме, как у дурака махорки.

Может стоит в разделе "Математический справочник" разместить алгоритм решения методом множителей Лагранжа. А то сам уж путаюсь.

[bot]

chessar в сообщении #615054 писал(а):

разместить алгоритм решения методом множителей Лагранжа

Открыть какой-нибудь учебник и передрать оттуда?

[мат-ламер]

Вот тут post280295.html#p280295 в самом низу ссылка.

-- Ср сен 05, 2012 13:49:31 --

Простите, пошёл по ссылке, но ничего конкретно не нашёл.
(Хотя есть ссылки на учебники по матанализу).

[chessar]

мат-ламер в сообщении #615060 писал(а):

Открыть какой-нибудь учебник и передрать оттуда?

Именно так, главное, чтобы на форуме это было в явном виде, так сказать - под рукой. Вот, например, из Алексеев В.М., Галеев Е.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи (2-е изд., 2005 г.).

[arqady]

geniy88 в сообщении #614971 писал(а):

и нашел решение этой системы

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=\sqrt{\frac{A}{6}} ,$ $y=-\frac{\sqrt{\frac{A}{6}}}{4}$

Как-то это у Вас лихо получается. А если $A<0$?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #615017 писал(а):

Исследуется вторая производная на неотрицательную определённость (но не на всём пространстве).

Вторая производная функции Лагранжа на касательном пространстве.

[geniy88]

arqady в сообщении #615090 писал(а):

нашел

A>0

-- Чт сен 06, 2012 06:53:08 --

Спасибо всем за ответы!