Измеримость функции

[heyho]

Такой вопрос. Необходимо доказать, что если функция $f$ измерима на всяком отрезке $[\alpha;\beta]$, $a<\alpha<\beta<b.$ , то она измерима на $[a;b]$

Не знаю с какой стороны подойти к доказательству. Сначала нужно доказать, что если множество измеримо , то и его подмножество измеримо ? Заранее спасибо.

[mihailm]

предел измеримых измеримая, добавьте на дополнении ноль и устремляйте куда надо

[Oleg Zubelevich]

heyho в сообщении #615264 писал(а):

Сначала нужно доказать, что если множество измеримо , то и его подмножество измеримо

это неверно, вообще говоря

[heyho]

Oleg Zubelevich
Я хотел приплести сюда то, что замкнутые и открытые множества, расположенные на некотором отрезке измеримы.
А из чего в данном случае исходить?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: $\alpha<\beta =$ $\alpha<\beta.$ Неправильный набор формул (о чём Вас, не исключаю, предупреждали при наборе).


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Возвращено.

[ewert]

heyho в сообщении #615264 писал(а):

Сначала нужно доказать, что если множество измеримо , то и его подмножество измеримо ?

Это не только неверно, но и не нужно. А нужно, что объединение не более чем счётного количества измеримых множеств измеримо. И этого не нужно доказывать -- это по определению меры.

[_hum_]

ewert в сообщении #615526 писал(а):

И этого не нужно доказывать -- это по определению меры.

Только не меры, а сигма-алгебры. Только вот какой в данном примере :)

heyho в сообщении #615264 писал(а):

Не знаю с какой стороны подойти к доказательству.

Да, наверное, лучше всего по определению доказывать. Выпишите сперва, что означает измеримость функции на $[\alpha,\beta]$.

[ewert]

_hum_ в сообщении #615556 писал(а):

сигма-алгебры. Только вот какой в данном примере :)

А разница?... Важно лишь, что сигмы. Ну плюс одноточечное множество должно считаться измеримым.

[Oleg Zubelevich]

странноватая ветка, прямое решение задачи было приведено сразу:

mihailm в сообщении #615267 писал(а):

предел измеримых измеримая, добавьте на дополнении ноль и устремляйте куда надо

но, очевидно, его не поняли ни советчики ни ТС

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #615824 писал(а):

прямое решение задачи было приведено сразу:

Оно было избыточным: измеримость следует непосредственно из сигмаалгебровости, и никакие предельные переходы тут ни к чем.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ну это то чем отличается математик от педагога

[_hum_]

ewert в сообщении #615815 писал(а):

А разница?... Важно лишь, что сигмы. Ну плюс одноточечное множество должно считаться измеримым.

Кхм...Ну вообще-то измеримость никак не требует наличия меры. Так что лучше их не смешивать, тем более для начинающего как ТС разбираться в теме.

И поскольку задача все-таки учебная (на усвоение понятий), то полезнее всего ее решать, исходя из определений. А именно, в ней нужно доказать, что если сужение функции $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ на множество $[\alpha,\beta]$ измеримо, то и сама функция измерима. А для этого, по-хорошему, решающему нужно выписать, что означает измеримость сужения, что означает измеримость самой функции, и попытаться их связать друг с другом.

[ewert]

_hum_ в сообщении #615852 писал(а):

Ну вообще-то измеримость никак не требует наличия меры.

Не требуется, просто обычно она к этому моменту уже есть. Ведь измеримость множеств имеет практический смысл только в том случае, когда на них определена ещё и мера (тем более раз речь ещё и о функциях).

_hum_ в сообщении #615852 писал(а):

А для этого, по-хорошему, решающему нужно выписать, что означает

Ну посмотрим; может и выпишет. Пока что у него в голове явный сумбур, о чём свидетельствуют его размышления над открытостью/замкнутостью, и рекомендации всяких там предельных теорем упорядочению мыслей как-то не способствуют.