Общий член последовательности

[Unconnected]

$a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}$
Нужно найти формулу для n-го члена. В данном случае можно положить $a_n=q^n$, и найти $q$. А в общем, как такое решать (только без всяких характеристических многочленов, если можно).

[Sonic86]

(Оффтоп)

Как говаривал К.Маркс, "Свобода - суть познанная необходимость"

Unconnected в сообщении #614155 писал(а):

В данном случае можно положить $a_n=q^n$, и найти $q$

это противоречит

Unconnected в сообщении #614155 писал(а):

только без всяких характеристических многочленов, если можно

Это и есть общий метод решения: как только Вы подставите $a_n=q^n$, то получите характеристический многочлен.

В принципе, есть метод производящих функций: последовательности $a_n \leftrightarrow \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n=f(x)$. Вычисляете $f(x)$ и ищите $n$-ю производную. В данном случае это вполне хорошо удается. Однако, из заклятого круга выйти нельзя: когда Вы будете считать производную, Вы начнете раскладывать знаменатель на множители, но в знаменателе будет характеристический многочлен.

[Профессор Снэйп]

Для

$$ A_n = \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_n \end{array} \right) $$

справедливо

$$ A_n = \left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^n A_0 $$

Возводи матрицу в степень и считай!

[Профессор Снэйп]

Ну или просто положите $b_n = a_{n+1} + a_n$, $c_n = a_{n+1} - 4a_n$ и выразите $b_{n+1}$ через $b_n$, а $c_{n+1}$ через $c_n$. Только не спрашивайте, откуда я взял эти выражения

(Оффтоп)

Я их вычислил, когда возводил матрицу в степень

[Mitrius_Math]

Unconnected в сообщении #614155 писал(а):

Нужно найти формулу для n-го члена.

Можно решить рекуррентное соотношение, но, учитывая, что начальные условия не даны, в формуле общего члена будут фигурировать две неизвестные константы.

[Профессор Снэйп]

Mitrius_Math в сообщении #614287 писал(а):

в формуле общего члена будут фигурировать две неизвестные константы.

Например, $a_0$ и $a_1$

[Unconnected]

Ага, теперь ясно, мы как раз на той паре ещё матрицы в степень возводили. Правда, немного сомнительным способом - полагалось, что возможно равенство
$BAB^{-1}=\begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 0& \lambda \end{pmatrix}$
, где A - исходная: оказывается, если такое равенство есть, то B состоит из характеристических векторов, а справа собственные числа на диагонали. Может, есть более универсальный спобоб? (собственный вектор может быть один, например, и способ не работает).

И как быть с системой типа:
$\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=2x_n+3y_n & \\ y_{n+1}=5x_n+2y_n & \end{matrix}\right.$

[Профессор Снэйп]

В Вашем случае будет

$$ BAB^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) $$

-- Пн сен 03, 2012 21:13:39 --

Unconnected в сообщении #614313 писал(а):

собственный вектор может быть один, например, и способ не работает

Жорданова форма матрицы Жордановы матрицы тоже в степень легко возводятся.

-- Пн сен 03, 2012 21:15:22 --

Unconnected в сообщении #614313 писал(а):

И как быть с системой типа...

Точно так же: возводить матрицу в степень!

[Unconnected]

Ясно, спасибо!