Родственные числа Ферма!

[Anatolii]

1.

$$2^{64}+1$$

и

$$1071^8+1$$

делятся на 274177;

2.

$$2^{512}+1$$

и

$$37^{32}+1$$

делятся на 2424833;

3.

$$2^{4096}+1$$

и

$$397^{256}+1$$

делятся на 26017793;

4.

$$2^{4096}+1$$

и

$$973^{256}+1$$

делятся на 63766529;

5.

$$2^{8192}+1$$

и

$$41365885^{512}+1$$

делятся на 2710954639361;

Найти ещё решения!

[Sonic86]

Если $p\mid a^{kn}+1$, то $p\mid (a^k\mod p)^n+1$.
Если дано $a^n+1$, то перебираем делители $n$ - получаем множество таких чисел.

[ИСН]

Перебираем не все делители, а нечётные. Именно поэтому нам предлагают значения $n$ без таковых.

[Anatolii]

Я спрашиваю конкретный пример целочисленного решения, а не методику и способы его нахождения!

[ИСН]

А, нет, я сперва не так понял. Вот у нас $2^{32}+1$ делится на 641; делаем, как сказал Sonic86, и получаем несколько тривиальных результатов и один нетривиальный: $154^2+1$.

-- Ср, 2012-09-05, 22:43 --

А впрочем, что мелочиться, тут уже и подбором можно. Вот, смотрите: $5^{32}+1$ тоже делится на 641. Круто?

[Anatolii]

Я не рассматриваю случай

$$2^{32}+1$$

в своих примерах,
так как решения получаются из чисто случайных совпадений, не имеющими
ни какого отношения к общиму правилу.
Например можно также найти, что и

$$21^{64}+1$$

и

$$29^{64}+1$$

также делятся на 641.
Поэтому правильно будет искать решения с числа

$$2^{64}+1$$

и нечётное число должно быть в степени не меньшей чем четыре.
С другой стороны можно искать и чётные решения, попробуйте!
Я привожу решение для чила Ферма

$$2^{64}+1$$

, это будет

$$70189056^8+1$$

.

Дальнейшая задача, найти решение для числа Ферма большего, чем

$$2^{8192}+1$$

, тоесть продолжить ряд предложенный мною.

[ИСН]

Насчёт общего правила - это довольно сильное утверждение. Если у Вас есть какое-то правило, которое даёт одни результаты, но не даёт другие ("случайные"), отличающиеся от первых только тем, что их не даёт это правило - то оно не общее. Или сформулируйте толком, для какой, собственно, задачи оно является общим.
Теперь по существу. Известно, что $2^{2^{18}}+1$ делится на 13631489 (меньшие числа Ферма я пока брать не стал, потому что у них простые делители больше). Прокатываем по методу Sonic86 - получаем варианты $1048261^{8192}+1$ и $580251^{32}+1$ (это не все и даже не все нечётные; переписывать лень). А если взяться за перебор, то аж глаза разбегаются, потому что их там до чёрта. Вот, например: $13^{65536}+1$ и $9^{262144}+1$.