Парабола и окружность, параметр, кол-во решений

[Алексей К.]

Keter в сообщении #614497 писал(а):

Но я догадываюсь что это дискриминант уравнения $x^2+4(a+1)x+(a+1)(a+3)=0$, записанный в виде $D=k^2-ac$.

Приведённый Вами дискриминант, $D=k^2-ac$ наверняка относится к уравнению $ax^2+2kx+c=0$, и никак не к написанному Вами уравнению $x^2+4(a+1)x+(a+1)(a+3)=0$ (в котором нет никаких ка, и цэ). Вы меня за лоха держите?

[ole-ole-ole]

$ax^2+bx+c=0$

$D=b^2-4ac$

$\dfrac{D}{4}=\Big(\dfrac{b}{2}\Big)^2-ac$

-- 04.09.2012, 00:48 --

Алексей К. в сообщении #614506 писал(а):

Приведённый Вами дискриминант, $D=k^2-ac$ наверняка относится к уравнению $ax^2+2kx+c=0$, и никак не к написанному Вами уравнению $x^2+4(a+1)x+(a+1)(a+3)=0$ (в котором нет никаких ка, и цэ). Вы меня за лоха держите?

А если в качестве $k$ взять $2(a+1)$?

[Алексей К.]

ole-ole-ole в сообщении #614505 писал(а):

$\dfrac{D_2}{4}=(a+3)(3a+1)$

Значит $a<-3\;\;&\;\;a>-\dfrac{1}{3}$

А как дальше анализировать, если не графически?

Пока ещё можно умом попользоваться. Вместо Вашего скоропостижного "Значит, ...", написать что-то вроде:
При $-3<a<-\frac13$ точек пересечения (и, соответственно, решений) нет. (И на хрена нам тут какие-то графики смотреть? Если только чтобы убедиться в своей правоте...)
При $a=-3$ имеем одно решение для абсциссы $x$. Я бы на игреки посмотрел, какие они получаются, но вы всегда активизируетесь, когда спать хочется. А не на игреки смотреть.
При $a<-3$ имеем...

-- 04 сен 2012, 01:52:14 --

ole-ole-ole в сообщении #614511 писал(а):

А если в качестве $k$ взять $2(a+1)$?

Можно, но и в качестве $a$ я вынужден брать единицу.

-- 04 сен 2012, 01:59:10 --

Короче, нельзя тупо сопоставлять уравнения $ax^2+2kx+c=0$ и $x^2+4(a+1)x+(a+1)(a+3)=0$ с одинаковой буковкой $a$, которая на самом деле не одинаковая: типа получается $a=1$, $k=2(a+1)$, $c=\ldots$
Видите, какая хрень получается? Keter, Вы тоже видите, какая хрень получается?

[ole-ole-ole]

Я так подозреваю, что при $a<-3$ нет решений, так как у нас для того, чтобы точка лежала на окружности -- необходимо, чтобы $|x+a+2|\leqslant 1$, то есть $-3\leqslant a+x\leqslant -1$
А чтобы точка могла лежать на параболе $ax\geqslant 0$

Объединяя - получаем пустое множество

[Алексей К.]

Про это я постараюсь подумать завтра. Где-то выше кто-то заявил, что всё порешил, и своё решение напи

[ole-ole-ole]

Если $ax>0$ (случай когда какое-то из них равно нулю - рассмотрим отдельно), тогда $a$ и $x$ имеют один знак, а вспомнив, что необходимое условие наличия решений $-3\leqslant a+x\leqslant -1$, тогда у нас получается, что $a<0$, и $x<0$.

Остался самый подозрительный интервал $(\frac{1}3;0)$

Как с ним быть?

-- 04.09.2012, 01:13 --

Алексей К. в сообщении #614525 писал(а):

Про это я постараюсь подумать завтра. Где-то выше кто-то заявил, что всё порешил, и своё решение напи

Ок, спасибо) Просто там где-то ошибка в решении, так как 4 решения быть может. Вот доказательство:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 8-1%2F4%29

[Алексей К.]

ole-ole-ole в сообщении #614526 писал(а):

Просто там где-то ошибка в решении, так как 4 решения быть может.

Мне тоже так каж

[Keter]

ole-ole-ole, вольфрам это сила Я когда систему решал ошибся малость)) там промежутки совпадают, значит есть и 4 корня)) Времени нет сесть и написать решение.

[Keter]

(Оффтоп)

Алексей К., эта "хрень", как Вы сказали происходит от того, что любое квадратное уравнение имеет дискриминант вида $D=b^2-4ac$ или $D=k^2-ac, k=b/2$. А решая что там брать вместо a, b, k, "ещё можно умом попользоваться". И вместо Вашего скоропостижного "Вы тоже видите, какая хрень получается?" можно решить задачу, а не указывать на мелкие недочеты, которые в принципе здесь не уместны.

[Keter]

$$\begin{cases}(x+a+2)^2+y^2=1,\\ y^2=2ax.\end{cases}$$

Из первого уравнения следует, что $x \in [-a-3; -a-1] = M$. Из второго ОДЗ: $2ax \ge 0$.

1) Пусть $a>0,$ тогда $x \ge 0$. $\forall a>0 \quad x \in M < 0$, значит при $a>0$ система уравнений не имеет решений.

2) Если $a=0,$ то $y=0, \quad (x+2)^2=1 \Rightarrow x=\{-3; -1\}$. Следовательно, при $a=0$ имеем два решения: $(-3; 0)$ и $(-1; 0)$.

3) Пусть $a=-3$, тогда $x \in [0; 2]$, но из ОДЗ $x \le 0$, значит $x=0 \Rightarrow y=0.$ То есть при $a=-3$ имеем одно решение $(0; 0)$.

4) Если $a<-3,$ то $x \le 0$. $\forall a<-3 \quad x \in M > 0$, значит при $a<-3$ система уравнений не имеет решений.

5) Пусть $a \in (-3; 0), x \le 0$. Подставив второе уравнение в первое, имеем:

$$(x+a+2)^2+2ax=1; \quad x^2+4x(a+1)+a^2+4a+3=0$$

$D=3a^2+4a+1$, тогда при $a \in (-1; -1/3)$ система уравнений не имеет решений.

6) Пусть $a \in (-3; -1] \cup [-1/3; 0), x \le 0$. Из полученного уравнения $x^2+4x(a+1)+a^2+4a+3=0$ имеем:

$$\begin{cases}a \in (-3; -1] \cup [-1/3; 0),\\ x = -2(a+1) \pm \sqrt{3a^2+4a+1} \le 0.\end{cases}$$

$-2(a+1) + \sqrt{3a^2+4a+1} \le 0 \Rightarrow a \ge -1;$
$-2(a+1) - \sqrt{3a^2+4a+1} \le 0 \Rightarrow a \in [-1/3; + \infty) \cup \{ -1 \}$ или $a \in [-3; -1].$

Если $x=-2(a+1) + \sqrt{3a^2+4a+1}=\alpha$, то $\begin{cases}a \in (-3; -1] \cup [-1/3; 0),\\ a \ge -1;\end{cases} a \in [-1/3; 0) \cup \{ -1 \}$.

Если $x=-2(a+1) - \sqrt{3a^2+4a+1}=\beta$, то $\begin{cases}a \in (-3; -1] \cup [-1/3; 0),\\ a \in [-1/3; + \infty) \cup \{ -1 \};\end{cases} a \in [-1/3; 0) \cup \{ -1 \}$ или $\begin{cases}a \in (-3; -1] \cup [-1/3; 0),\\ a \in [-3; -1];\end{cases} a \in (-3; -1]$.

Итак, при $a=-1$ имеем $x=0 \Rightarrow y=0$, то есть система уравнений имеет одно решение $(0; 0)$.

При $a \in [-1/3; 0)$ имеем $x= \alpha$ или $x= \beta$, соответственно $y=\pm 2a \alpha$ или $y=\pm 2 a \beta.$ То есть система уравнений имеет четыре решения $(\alpha; 2a \alpha), (\alpha; -2a \alpha), (\beta; 2a \beta), (\beta; -2a \beta).$

При $a \in (-3; -1)$ имеем $x=\beta, \quad y=\pm 2a \beta$. То есть система уравнений имеет два решения $(\beta; 2a \beta), (\beta; -2a \beta).$

Ответ:

а) $a \in (- \infty; -3) \cup (-1; -1/3) \cup (0; +\infty)$;
б) $a=\{ -3; -1 \}$;
в) $a \in (-3; -1) \cup \{ 0 \}$;
г) ни при каком значении параметра $a$;
д) $a \in [-1/3; 0)$.

[ole-ole-ole]

Ого, спасибо большое)

[Keter]

ole-ole-ole, обратите внимание на вот эти два неравенства (их решение пропустил, чтобы не засорять общую картину, ну а так они важны):

$$-2(a+1) + \sqrt{3a^2+4a+1} \le 0$$

$$-2(a+1) - \sqrt{3a^2+4a+1} \le 0$$

Напишите полное решение здесь.

[Shadow]

Keter, по формулам Виета очень легко определить когда уравнение имеет один отрицательный корень (2 решения системы) и когда два (четыре решения). После определения дискриминанта, конечно.
Иначе все верно, только при $a=-\frac 1 3, x_1=x_2$ и система будет иметь 2 решения.

[Keter]

Да, Вы правы, при a=-1/3 корни совпадают. А теорема Виета здесь на любителя

[ole-ole-ole]

$$-2(a+1) + \sqrt{3a^2+4a+1} \le 0$$

$$\sqrt{3a^2+4a+1} \le 2(a+1)$$

$$3a^2+4a+1\le 2a^2+4a+2\;\;\;u\;\;\;\;\; 3a^2+4a+1\ge 0$$

$$a^2\le 1\;\;\;u\;\;\;\;\; (a+1)(a-1/3)\ge 0$$

$$a=-1\;\;\;\;u\;\;\;\;a\in(1/3;+\infty)$