Парабола и окружность, параметр, кол-во решений

[ole-ole-ole]

Система.


$\left\{\begin{matrix}(x+a+2)^2+y^2=1\\ y^2=2ax\\ \end{matrix}\right.$

Найти все значение параметра $a$, при котором:

а) Не будет решений системы
б) Будет 1 решения системы
в) Будет 2 решения системы
г) Будет 3 решения системы
д) Будет 4 решения системы



Вот такая картинка. Я так понял, что окружность в зависимости от параметра будет ездить вдоль оси икс, а парабола будет расширяться и сужаться.

При $a>0$ ветви вправо

При $a<0$ ветви влево.

Полезно заметить, что вершина параболы будет в любом случае в начале координат.

a) При $a=0$ -- точно нет решений. Я так понял, что при $|a}>2$ -- нет решений.

б) Одно решение будет при $a=-3$, так как, если $(x,y)$ является решением, то и $(x,-y)$ -- тоже. Из этого следует, что решение единственно, когда $x=y=0$, а это достигается при $a=-3$

в) Два решения будет - до положения "касания"

г) Три решения должны быть - когда парабола "касается" окружности. Но как найти эти 2 точки касания и соответствующие этим значениям параметра? Я подумал, что угловые коэффициенты касательных прямых должны совпасть, значит производные соответствующих функций должны совпасть.

$x'(y)=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}=\dfrac{y}{a}$

Значит $a=\pm\sqrt{1+y^2}$

А как дальше? Верно ли?

д) Вот бы г сначала сделать) Там 4 решения должно быть после "положения касания"

-- 02.09.2012, 23:41 --

простите, комп тормозит, не хотел трижды писать одно и тоже...

[AKM]

ole-ole-ole в сообщении #614036 писал(а):

простите, комп тормозит, не хотел трижды писать одно и тоже...

Замечу, что удалить дубли было в Ваших силах. Кнопочка . Но ничего страшного, я поудалял.

[Алексей К.]

А Вы не пробовали тупо выразить икс из второго уравнения, и подставить в первое?
Вроде всё просто решается, и уравнение 4-й степени оказывается биквадратным, и дискриминант у него хороший (для анализа).

-- 03 сен 2012, 01:57:50 --

А уж потом проверить результат графикой и рассуждениями типа "рога вправо", "рога влево".

[ole-ole-ole]

AKM в сообщении #614047 писал(а):

Замечу, что удалить дубли было в Ваших силах. Кнопочка . Но ничего страшного, я поудалял.

Ок, спасибо, буду иметь ввиду!

Алексей К. в сообщении #614048 писал(а):

А Вы не пробовали тупо выразить икс из второго уравнения, и подставить в первое?
Вроде всё просто решается, и уравнение 4-й степени оказывается биквадратным, и дискриминант у него хороший (для анализа).

Хочется графически тоже научиться решать)

-- 03.09.2012, 01:16 --

А если так, то я бы записал что-то в таком духе

$(x+a+2)^2+2ax=1$

$x^2+a^2+3+4x+4a+4ax=0$

$x^2+4(a+1)x+a^2+3=0$

$\dfrac{D}{4}=2a^2+4a+2-a^2-3=a^2+4a-1$

$a^2+4a-1=0$

$\dfrac{D_2}{4}=5$

$a_{1,2}=-2\pm\sqrt{5}$

$a^2+4a-1=0\;\;\;\;\ \Rightarrow a<-2-\sqrt{5},\;\;\;\;a>\sqrt{5}-2$

[Алексей К.]

Решать (якобы) "графически" Вы могли простенькие задачи типа неравенств $x(x+1)(x+2)(x+99)>0$. Ваша же задача для "графического" решения требует точнейшего рисования вовлечённых кривых. Например, случай трёх решений --- это на самом деле случай 4-х решений, когда одна пара становится кратным решением. Это парабола, касающаяся окружности в вершине. Только что их было 4, чуть чуть подвинули, два решения слились в одно, и вот-вот исчезнут. Останется два. До поры, до времени.

Думаю, в данном случае надо решать аналитически. Графическое сопровождение полученных выводов тогда можно делать приближённо. И, да, --- будет оно весьма полезным, и для самопроверки, и для понимания сути. Но вряд ли оно, "графическое", здесь может быть основным методом.

-- 03 сен 2012, 02:21:40 --

ole-ole-ole в сообщении #614049 писал(а):

А если так, то я бы записал что-то в таком духе

$(x+a+2)^2+2ax=1$

Ну да, так получше, чем предложенные мной биквадратности. Не заметил --- значит, спать мне надо. Даже пока, пардон, не буду анализировать то, что Вы дописали. Завтра.

-- 03 сен 2012, 02:23:44 --

ole-ole-ole в сообщении #614049 писал(а):

$x^2+4(a+1)x+a^2+3=0$

Ошибка!

[Keter]

ole-ole-ole, графически, пожалуйста. Постройте график и рассуждайте. Посмотрите на условия существования окружности и параболы.

Например, если $a>0,$ то $x \ge 0$. Тогда, окружность $(x+a+2)^2+y^2=1$ существует при $x \in [-a-3; -a-1]$, но этот промежуток отрицателен при $a>0$, то есть $x<0$. И значит парабола не будет существовать. То есть решений при $a>0$ нет. Ну это так, примитивно.

Таким макаром рассмотрите промежуток $a<-3$. Ну при $a=0$ и $a=-3$ графическими рассуждениями легко понять, что будет соответственно одно и два решения. Кстати, постройте графики и найдите значения $(x; y)$.

Ну а потом можно смотреть $a \in (-3; 0)$. Но здесь уже графически никак.

-- 03.09.2012, 01:26 --

Алексей К. прав, решая графически, Вы можете только рассуждать(может Вам так легче) в данном случае, а вот точное решение все равно аналитически прийдется искать.

[Алексей К.]

Keter, оцените замену запятой на двоеточие в Вашей фразе:

Keter в сообщении #614053 писал(а):

Алексей К. прав, решая графически, Вы можете только...

Цитата:

Алексей К. прав: решая графически, Вы можете только...

В первом случае я долго думал: как я мог быть прав, решая графически? Да и не предлагал я решать графически! Потом я понял, но Вы вынудили читателя (меня) застопориться и вчитываться.
Во втором случае мы имеем: "Алексей К. прав:" Хорошая пауза после двоеточия. Дальше следует остальное: "решая графически, Вы делаете то-то и то-то неправильно". Никаких стопоров.

ole-ole-ole, не пропустите за этой словесностью ошибку, на которую я выше указал.

И вообще, --- дайте поспать!

[ole-ole-ole]

Ой, точно!

$x^2+4(a+1)x+a^2+4a+3=0$

$x^2+4(a+1)x+(a+1)(a+3)=0$


$\dfrac{D_2}{4}=2(a+1)^2-(a+1)(a+3)=(a+1)(2a+2-a-3)=(a+1)(a-1)=a^2-1$

Значит дискриминант положителен при $|a|>1$

А как дальше? Верно ли это?

-- 03.09.2012, 02:12 --

Цитата:

И вообще, --- дайте поспать!

Ок=)

[Keter]

Алексей К., мы же все поняли что я имел ввиду.

[Алексей К.]

ole-ole-ole в сообщении #614057 писал(а):

Верно ли это?

Не.

-- 03 сен 2012, 12:17:29 --

Я $a=0$ подставил. Корни устно нашлись. А по-Вашему --- какой-то там дискриминант якобы отрицателен, и корней якобы нет.

[Keter]

У меня получился такой ответ:

если $a \in (-\infty; -3) \cup (-1; -1/3) \cup (0; +\infty)$, то решений нет;

если $a = \{ -1; -3 \}$, то одно решение, в обоих случаях $(0; 0)$;

если $a \in (-3; -1) \cup [ -1/3; 0) \cup \{ 0 \}$, то два решения, соответственно промежуткам:

$x=\alpha; y=\pm 2a \alpha, \alpha=-2(a+1)+\sqrt{3a^2+4a+1};$

$x=\beta; y=\pm 2a \beta, \beta=-2(a+1)-\sqrt{3a^2+4a+1};$

$(-1; 0), (-3; 0)$;

одновременно трёх и более решений система не имеет.

-- 03.09.2012, 23:16 --

ole-ole-ole,

Цитата:

$\dfrac{D_2}{4}=2(a+1)^2...$

А должно быть $\dfrac{D_2}{4}=4(a+1)^2...$

[Алексей К.]

Когда ole-ole-ole написал про это Дэ-два

Keter в сообщении #614477 писал(а):

А должно быть $\dfrac{D_2}{4}=...$

я поленился спрашивать, что это за хрень. Теперь, когда вижу их взаимопонимание с Keterом, пожалуй, спрошу. Что это за $D_2$, и зачем вы его так старательно делите на четыре? Расскажите заодно про $D_1$, $D_3$, и на что их делят?

[Keter]

Алексей К., вобще я сам не знаю, что такое $D_2$ и зачем его на 4 делят.
Но я догадываюсь что это дискриминант уравнения $x^2+4(a+1)x+(a+1)(a+3)=0$, записанный в виде $D=k^2-ac$. А что Вы имели ввиду под "взаимопониманием"?

[Алексей К.]

Взаимопонимание: он так написал, и Вы так же написали. Ну типа одни и те же книжки читаете (мне неизвестные учебники), понимаете друг друга с полуслова, без объяснений.

[ole-ole-ole]

Спасибо, понял ошибку.

$\dfrac{D_2}{4}$ - дискриминант на 4, чтобы меньше считать) Кетер правильно меня понял(а)!

Исправил ошибку, получается

$\dfrac{D_2}{4}=(a+3)(3a+1)$

Значит $a<-3\;\;&\;\;a>-\dfrac{1}{3}$

А как дальше анализировать, если не графически?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 8-1%2F4%29