как решить задачу по топологии?

[Someone]

mathzero в сообщении #608978 писал(а):

открытые множества, оказывается, не обязательно окрестности в смысле метрической топологии

Окрестностями точки называют множества, входящие в специально выбранное семейство, обычно своё для каждой точки. Выбор этого семейства обычно достаточно произволен, хотя определённые ограничения есть. Но в общем случае часто окрестностью точки (множества) называют произвольное открытое множество, содержащее данную точку (множество). В метрическом пространстве окрестностями точки обычно называют открытые шары с центром в данной точке.

Бурбаки называют окрестностью точки (множества) произвольное подмножество топологического пространства, содержащее открытое множество, содержащее данную точку (множество).

mathzero в сообщении #608978 писал(а):

пересечение любой последовательности вложенных подмножеств имеет непустое пересечение. но эти подмножества должны быть открытыми

Не пустыми, надеюсь? Таких пространств, в общем-то, и не бывает. Точнее, они есть, но имеют малоинтересную топологию. Например, конечную.

Обычно рассматривают всё-таки (непустые) замкнутые подмножества. Таким образом определяются свойства типа компактности или полноты.

mathzero в сообщении #607934 писал(а):

за открытые подмножества множества $A$ можно взять $Q$ и $I$. то есть задать топологию $\tau={a,\oslash,Q,I}$.

Какое отношение эта топология имеет к той, о которой Вы говорили в первом сообщении? Там ведь предполагалась топология, определённая отношением порядка. В ней не четыре множества, а целый континуум (в смысле мощности). Кстати, значок пустого множества кодируется как \varnothing ($\varnothing$).

mathzero в сообщении #607934 писал(а):

теперь нужно найти топологию на $R$, гомеоморфную $\tau$.

Если два множества равномощны и на одном из них задана какая-то топология, то на другом всегда можно задать гомеоморфную ей: берём любое взаимно однозначное отображение одного множества на другое и с его помощью переносим любую структуру, в том числе и топологию. Непонятно, почему Ваши мысли пошли в этом направлении. Топологии на множествах $A$ и $\mathbb R$ уже заданы, Вам просто нужно убедиться, что они не гомеоморфны. Для этого нужно найти какое-то свойство, которое топологически инвариантно (сохраняется при гомеоморфизмах), но различается у данных пространств.
Например, полнота метрических пространств не является топологическим инвариантом: интервал $(0,1)$ гомеоморфен числовой прямой $\mathbb R$, но прямая является полным метрическим пространством, а интервал - нет.
Я сначала предлагал рассмотреть связность. Связность является топологическим инвариантом. Пространство $\mathbb R$ связно, а пространство $A$ - нет. Вам всего лишь нужно указать множества $U$ и $V$, о которых шла речь.
В Ваших рассуждениях я увидел другой подход к решению, связанный с мощностью открытых множеств: если в одном из пространств Вы укажете открытое множество такой мощности, которой не бывает в другом пространстве, то этого также будет достаточно для негомеоморфности, так как мощность любого подмножества при гомеоморфизме не меняется.

mathzero в сообщении #607968 писал(а):

пусть $-\infty$ - элемент, меньший любого рационального, а $+\infty$ - элемент, больший любого иррационального.

В данном случае $-\infty$ и $+\infty$ - не элементы, а просто условные значки для записи интервалов. Этих "элементов" нет в множествах $A$ и $\mathbb R$.

[mathzero]

спасибо за объяснения. правда, доходит до меня туго. всё таки топология непостижима для меня. как логически разворачивается теория ясно, но вот концепцию открытых множеств понять не могу. если в пространстве задана метрика, то степень близости точек помогает понять интуиция физического пространства. а в общем случае - как в стену уперся. очень трудно отказаться от аналогий с физическим пространством, с геометрией. можно ещё один вопрос. прослеживается ли каким-то образом топология конкретного множества из условий, определяющих это множество? вот как, например, в этой задаче, заданное отношение порядка определило топологию на $A$

-- 03.09.2012, 21:47 --

Someone в сообщении #608993 писал(а):

mathzero в сообщении #607934 писал(а):
за открытые подмножества множества $A$ можно взять $Q$ и $I$. то есть задать топологию $\tau={a,\oslash,Q,I}$.
Какое отношение эта топология имеет к той, о которой Вы говорили в первом сообщении? Там ведь предполагалась топология, определённая отношением порядка. В ней не четыре множества, а целый континуум (в смысле мощности).

Не могли бы Вы объяснить, как отношение порядка задаёт эту топологию, а то я совсем запутался. если топология задаётся произвольным "назначением" подмножеств быть открытыми, лишь бы выполнялись аксиомы, то как заданное отношение порядка может ограничить нас в выборе открытых множеств? заранее спасибо за ответ.

[xmaister]

Если $X$- $T_0$- пространтво у которого пересечение любого семейства открытых- открыто, то на $X$ существует порядковая топология, свпадающая с исхолной. Для общего случая не ведаю.

[Someone]

mathzero в сообщении #614455 писал(а):

Someone в сообщении #608993 писал(а):

mathzero в сообщении #607934 писал(а):
за открытые подмножества множества $A$ можно взять $Q$ и $I$. то есть задать топологию $\tau={a,\oslash,Q,I}$.
Какое отношение эта топология имеет к той, о которой Вы говорили в первом сообщении? Там ведь предполагалась топология, определённая отношением порядка. В ней не четыре множества, а целый континуум (в смысле мощности).

Не могли бы Вы объяснить, как отношение порядка задаёт эту топологию, а то я совсем запутался. если топология задаётся произвольным "назначением" подмножеств быть открытыми, лишь бы выполнялись аксиомы, то как заданное отношение порядка может ограничить нас в выборе открытых множеств? заранее спасибо за ответ.

Эту топологию отношение порядка не задаёт. Я писал, какую топологию задаёт отношение порядка. А эту топологию Вы придумали сами, и она никакого отношения к Вашей задаче не имеет.