Топологическое пространство

называется
несвязным, если существуют два открытых множества

, удовлетворяющие следующим условиям:
1)

,

;
2)

;
3)

.
Подмножество

называется
несвязным, если оно несвязно как подпространство. В терминах открытых множеств пространства

это формулируется так: подмножество

несвязно, если существуют два открытых множества

, удовлетворяющие условиям
1)

,

;
2)

;
3)

.
Соответственно, топологическое пространство или его подмножество называется
связным, если оно не является несвязным, то есть, если множества

и

с указанными свойствами не существуют.
Компонентой связности точки

называется наибольшее связное подмножество пространства

, содержащее точку

. Она совпадает с объединением всех связных подмножеств пространства

, содержащих точку

.
На числовой прямой связными являются пустое множество и следующие множества (и только они):
1) интервалы

(в том числе бесконечные);
2) полуинтервалы

и
![$(a,b]$ $(a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f523011785edb445cc341039ecd26e82.png)
(в том числе бесконечные);
3) отрезки
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
.
В частности, числовая прямая связна, а множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел - нет.
множество действительных чисел односвязно?
Множество действительных чисел односвязно, но односвязность - это совершенно другое свойство, нежели связность. Пока его не трогайте.