Числа в таблице

[Balantay]

Даны $2n$ разных действительных чисел: $a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n$.
Таблица $n\times n$ заполнена по такому принципу: на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца стоит число $a_i+b_j$. Произведение чисел в каждой строке таблицы равно $m$.
Найти, какие значения могут принимать произведения всех чисел в столбцах таблицы?

[Утундрий]

$P\left( a \right) \equiv \prod\limits_j {\left( {a + b_j } \right)} - m$
Что можно сказать о произведении корней этого полинома?

-- Сб сен 01, 2012 01:23:49 --

Ну ладно, а если не побояться и... расписать для $n=2$, а?

[Balantay]

Расписывал. Проблема в том, что коэффициенты не целые а действительные, и теорема Безу неприменима.
Для $n=2$ получается, что
$a_1+a_2=-(b_1+b_2)$

[Утундрий]

Balantay, здесь понадобятся только соотношения Виета.

[Утундрий]

(Оффтоп)

А потом он напишет "Всё, я решил. Тему можно закрывать!" И будет долго-долго ожидать ответа на следующий свой вопрос.

[Balantay]

Все равно не могу понять. При чем тут соотношения Виета?

[Утундрий]

Рассмотрим случай $n=2$. Возьмем любую строку (или столбец, я в них путаюсь) и посмотрим на связи

$$\left( {a + b_1 } \right)\left( {a + b_2 } \right) = m$$

как на уравнение относительно $a$ при заданных $b_{1,2}$. Обозначим его решения $a_{1,2}$, тогда

$$\left( {a + b_1 } \right)\left( {a + b_2 } \right) - m = \left( {a - a_1 } \right)\left( {a - a_2 } \right) = 0 \Rightarrow a_1 + a_2 = - \left( {b_1 + b_2 } \right);a_1 a_2 = b_1 b_2 - m$$

Теперь составим интересующие нас произведения вдоль столбцов (или строк, см. прим. выше), "отпустив" $b$

$$F\left( b \right) \equiv \left( {a_1 + b} \right)\left( {a_2 + b} \right)$$

Раскрывая и подставляя получим

$$F\left( b \right) = b_1 b_2 - m - b\left( {b_1 + b_2 } \right) + b^2 $$

Подставив сюда $b = b_{1,2}$ видим, что и там и сям одинаково $-m$.

И аналогично для остальных $n$.

[Balantay]

Интересно... С этим я разобрался, спасибо.
А вот как обобщить для любого натурального $n$?
Попробовал по индукции - не получается

[nnosipov]

Balantay в сообщении #613641 писал(а):

А вот как обобщить для любого натурального ...

Забыть про формулы Виета (без них вполне можно обойтись) и вспомнить про теорему Безу.