Ошибка в доказательстве? (законность перемены порядка интегр

[ecartman]

Изучаю вопрос расширения соболевских пространств $H^s$ на случай любых $s \in \mathbb{R}$. В одной могучей книге это вводится через Фурье, и весь анализ сводится к анализу функции $G_s(x) = \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}} e^{-2\pi i \xi \cdot x} d\xi$. В частности, при рассмотрении Соболевских неравенств, множитель $(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}}$ переписывается через гамма функцию так что $(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}} = \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})} \int_0^\infty t^{\frac{s}{2}} e^{-(1 + |\xi|^2)t} \frac{dt}{t} = \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})} \int_0^\infty t^{\frac{s}{2}} e^{-t} e^{-|\xi|^2 t} \frac{dt}{t}$ из-за тождества получаемого из определения гамма функции заменой переменной интегрирования $A^{-\frac{s}{2}} = \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})} \int_0^\infty t^{\frac{s}{2}} e^{-At} \frac{dt}{t}$. Далее все это подставляется в многомерный интеграл $G_s(x)$, и меняется порядок интегрирования давая таким образом обратное преобразование Фурье от функции гаусса которая как известно инвариантна относительно Фурье преобразования (с точностью до констант) и тем самым полностью избавляются от $(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}}$ и далее получают хороший одномерный итеграл для которого легко получить всякие оценки позволяющие сделать вывод для каких $s$ каким $L^q$ принадлежит $G_s(x)$ и собсно можно применить Хаусдорфа-Юнга для доказательства неравенств Соболева. Так вот вопрос, как можно догадаться, заключается в законности перемены порядка интегрирования, ведь Фубини тут не работает (каждый из возвратных интегралов конечен, а вот двойной - сомневаюсь). Буду признателен за любую помощь.

[RIP]

Я так понимаю, что $s>n$, чтобы интеграл $\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-s/2}e^{-2\pi i\xi x}d\xi$ существовал? Тогда перемена порядка интегрирования законна. Для этого достаточно, чтобы

$$\int_{\mathbb{R}^n}\int_0^{\infty}\left|t^{s/2-1}e^{-(1+|\xi|^2)t-2\pi i\xi x}\right|\,dt\,d\xi<\infty$$

[ecartman]

В лемме доказывающей асимптотические свойства $G_s(x)$ в окрестности нуля рассматриваются 3 случая $s < n$, $s = n$ и $s > n$. Конечно, в первых двух случаях асимптотика около нуля дает вырождение, однако эти случаи рассматриваются и далее используются при доказательстве $G_s(x) \in L^q$ для соответствующих $q$. К примеру (переходом к полярным координатам) показывается что при $s = \frac{n}{2}$, $G_s(x) \in L^q$ для $q > 1$.

[RIP]

Тогда видимо равенство $G_s(x)=\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-s/2}e^{-2\pi i\xi\cdot x}d\xi$ понимается в смысле обобщённых функций, т.е. для любой бесконечно дифференцируемой функции с компактным носителем $g(x)$

$$(G_s,g):=\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-s/2}\Hat g(\xi)\,d\xi,$$

где $\Hat g(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}g(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx$.
Подставляя в $(G_s,g)$ выражение для $(1+|\xi|^2)^{-s/2}$, можно смело менять порядок интегрирования, потом перевешивать крышку ($\Hat{\ }$) на функцию Гаусса и снова менять порядок интегрирования. Получится нечто вроде (если я нигде не проврался в вычислениях)

$$(G_s,g)=\int_{\mathbb{R}^n}\left(\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(s/2)}\int_0^{+\infty}t^{\frac{s-n}2-1}e^{-t-\frac{\pi^2|x|^2}t}dt\right)g(x)\,dx.$$

Это означает, что

$$G_s(x)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(s/2)}\int_0^{+\infty}t^{\frac{s-n}2-1}e^{-t-\frac{\pi^2|x|^2}t}dt$$

При $s\in(0;n]$ это равенство выполняется только в смысле обобщённых функций, т.к. для таких $s$ исходный интеграл для $G_s$ не существует.

[ecartman]

да, спасибо. как раз читаю stein "singular integrals ..." на эту тему. именно так дело и обстоит.