2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ошибка в доказательстве? (законность перемены порядка интегр
Сообщение10.04.2007, 09:52 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Изучаю вопрос расширения соболевских пространств $H^s$ на случай любых $s \in \mathbb{R}$. В одной могучей книге это вводится через Фурье, и весь анализ сводится к анализу функции $G_s(x) = \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}} e^{-2\pi i \xi \cdot x} d\xi$. В частности, при рассмотрении Соболевских неравенств, множитель $(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}}$ переписывается через гамма функцию так что $(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}} = \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})} \int_0^\infty t^{\frac{s}{2}} e^{-(1 + |\xi|^2)t} \frac{dt}{t} = \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})} \int_0^\infty t^{\frac{s}{2}} e^{-t} e^{-|\xi|^2 t} \frac{dt}{t}$ из-за тождества получаемого из определения гамма функции заменой переменной интегрирования $A^{-\frac{s}{2}} = \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})} \int_0^\infty t^{\frac{s}{2}} e^{-At} \frac{dt}{t}$. Далее все это подставляется в многомерный интеграл $G_s(x)$, и меняется порядок интегрирования давая таким образом обратное преобразование Фурье от функции гаусса которая как известно инвариантна относительно Фурье преобразования (с точностью до констант) и тем самым полностью избавляются от $(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}}$ и далее получают хороший одномерный итеграл для которого легко получить всякие оценки позволяющие сделать вывод для каких $s$ каким $L^q$ принадлежит $G_s(x)$ и собсно можно применить Хаусдорфа-Юнга для доказательства неравенств Соболева. Так вот вопрос, как можно догадаться, заключается в законности перемены порядка интегрирования, ведь Фубини тут не работает (каждый из возвратных интегралов конечен, а вот двойной - сомневаюсь). Буду признателен за любую помощь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Я так понимаю, что $s>n$, чтобы интеграл $\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-s/2}e^{-2\pi i\xi x}d\xi$ существовал? Тогда перемена порядка интегрирования законна. Для этого достаточно, чтобы
$$\int_{\mathbb{R}^n}\int_0^{\infty}\left|t^{s/2-1}e^{-(1+|\xi|^2)t-2\pi i\xi x}\right|\,dt\,d\xi<\infty$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 22:30 
Аватара пользователя


14/02/07
93
В лемме доказывающей асимптотические свойства $G_s(x)$ в окрестности нуля рассматриваются 3 случая $s < n$, $s = n$ и $s > n$. Конечно, в первых двух случаях асимптотика около нуля дает вырождение, однако эти случаи рассматриваются и далее используются при доказательстве $G_s(x) \in L^q$ для соответствующих $q$. К примеру (переходом к полярным координатам) показывается что при $s = \frac{n}{2}$, $G_s(x) \in L^q$ для $q > 1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2007, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Тогда видимо равенство $G_s(x)=\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-s/2}e^{-2\pi i\xi\cdot x}d\xi$ понимается в смысле обобщённых функций, т.е. для любой бесконечно дифференцируемой функции с компактным носителем $g(x)$
$$(G_s,g):=\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-s/2}\Hat g(\xi)\,d\xi,$$
где $\Hat g(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}g(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx$.
Подставляя в $(G_s,g)$ выражение для $(1+|\xi|^2)^{-s/2}$, можно смело менять порядок интегрирования, потом перевешивать крышку ($\Hat{\ }$) на функцию Гаусса и снова менять порядок интегрирования. Получится нечто вроде (если я нигде не проврался в вычислениях)
$$(G_s,g)=\int_{\mathbb{R}^n}\left(\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(s/2)}\int_0^{+\infty}t^{\frac{s-n}2-1}e^{-t-\frac{\pi^2|x|^2}t}dt\right)g(x)\,dx.$$
Это означает, что
$$G_s(x)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(s/2)}\int_0^{+\infty}t^{\frac{s-n}2-1}e^{-t-\frac{\pi^2|x|^2}t}dt$$
При $s\in(0;n]$ это равенство выполняется только в смысле обобщённых функций, т.к. для таких $s$ исходный интеграл для $G_s$ не существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2007, 14:31 
Аватара пользователя


14/02/07
93
да, спасибо. как раз читаю stein "singular integrals ..." на эту тему. именно так дело и обстоит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group