Во-первых, раздельно бесконечно малые и конечные скорости нужно рассматривать именно для того, чтобы можно было отбросить члены высшего порядка малости.
Во-вторых, роль зависимости от времени, координат и направлений, и от скорости - разная. Можно было сделать

и от скорости не зависящим,

но это не нужно, в отличие от остальных генераторов группы Галилея, рассмотренных в предыдущем параграфе. То есть не "придётся", а из общности мы должны рассмотреть нетривиальную функцию от скорости.
Дальше, зачем вообще отбрасывать члены? Для того, чтобы найти зависимость

Подход такой: сначала мы об этой функции почти ничего не знаем, потом мы находим дифур, и потом решаем его. "Почти ничего" означает, что

и
как-то связаны.

Взяв бесконечно малое приращение по скорости, удаётся конкретизовать это "как-то", поскольку все члены высшего порядка малости не могут в сумме ни на что повлиять, и единственный вклад в

даёт

Так что, у нас получается уже не функциональное, а дифференциальное уравнение, на

что нам и требовалось. Решение его

- разумеется, оно справедливо уже для любых приращений

а не только инфинитезимальных, то есть дальше идёт просто проверка этого факта.
Такую же последовательность действий можно проделывать каждый раз, когда нам надо найти функцию на какой-нибудь непрерывной группе: находим дифференциальное уравнение, взяв генераторы этой группы, и потом решаем его.