Лагранжиан и вариационное исчисление

[photon]

Oleg Zubelevich в сообщении #612025 писал(а):

Bulinator в сообщении #612017 писал(а):

Пусть у нас есть траектория $q(t)$

вам, любезнейший , сперва надо освоить разницу между функцией и траекторией, а уж потом пытаться кому-то что-то разъяснять

Начните с себя. Ваш совет как нельзя лучше подходит для Вас. В дальнейшем я буду стараться отслеживать и пресекать попытки флейма и такого рода некорректных поучений c Вашей стороны более строго.

[Joker_vD]

Кстати, раз уж заговорили о первых параграфах ЛЛ-1: кто-нибудь может объяснить, как же там все-таки отыскивается лагранжиан свободной частицы? Лично у меня сложилась такая картина: попытаемся найти лагранжиан, чтобы не зависел от времени, координат и направления скорости (чтоб, значит, группу $\mathrm{Trans }\mathbb R^4\cdot O_3$ ублажить), а вот преобразования Галилея... придется добавлять тривиальный лагранжиан, значит, попробуем так — напишем $L((\mathbf v+\boldsymbol\varepsilon)^2)$, разложим по $\boldsymbol\varepsilon$, отбросим все, что высшего порядка малости, и внимательно глянем на $\frac{\partial L}{\partial v^2}2\mathbf{v}\boldsymbol{\varepsilon}$ — раз мы хотим, чтобы он был полным дифференциалом по времени, то $\frac{\partial L}{\partial v^2}$ должна быть константой, которую обзовем буквой $m$. Вроде все правильно?

Что мне неясно: во-первых, отбрасывание членов с высшего порядка малости — это точно ничего плохого не сделает? И во-вторых — что там дальше идет за пассаж про конечные скорости? К чему он? К чему вообще рассматривать раздельно бесконечно малые и конечные скорости?

[Munin]

Во-первых, раздельно бесконечно малые и конечные скорости нужно рассматривать именно для того, чтобы можно было отбросить члены высшего порядка малости.

Во-вторых, роль зависимости от времени, координат и направлений, и от скорости - разная. Можно было сделать $L$ и от скорости не зависящим, $L=0,$ но это не нужно, в отличие от остальных генераторов группы Галилея, рассмотренных в предыдущем параграфе. То есть не "придётся", а из общности мы должны рассмотреть нетривиальную функцию от скорости.

Дальше, зачем вообще отбрасывать члены? Для того, чтобы найти зависимость $L(v^2).$ Подход такой: сначала мы об этой функции почти ничего не знаем, потом мы находим дифур, и потом решаем его. "Почти ничего" означает, что $L(v^2)$ и $L(v'^2)$ как-то связаны. $L(v'^2)=L(v^2)+\tfrac{d}{dt}(?).$ Взяв бесконечно малое приращение по скорости, удаётся конкретизовать это "как-то", поскольку все члены высшего порядка малости не могут в сумме ни на что повлиять, и единственный вклад в $\tfrac{d}{dt}(?)$ даёт $\frac{\partial L}{\partial(v^2)}2\mathbf{v}\pmb{\varepsilon}.$ Так что, у нас получается уже не функциональное, а дифференциальное уравнение, на $\frac{\partial L}{\partial(v^2)},$ что нам и требовалось. Решение его $L=C_1v^2+C_2$ - разумеется, оно справедливо уже для любых приращений $v,$ а не только инфинитезимальных, то есть дальше идёт просто проверка этого факта.

Такую же последовательность действий можно проделывать каждый раз, когда нам надо найти функцию на какой-нибудь непрерывной группе: находим дифференциальное уравнение, взяв генераторы этой группы, и потом решаем его.

[Oleg Zubelevich]

Все это , конечно , замечательно, но только почему сразу после раздела про функцию Лагранжа ЛЛ-1 дает задачи на выписывание лагранжиана двойного маятника и других голономных систем? Чем , c точки зрения построенной выше науки, эти системы отличаются от шара, катящегося без проскальзывания по плоскости? Как из написанного там следует, что для шара уравнения Лагранжа писать нельзя, а для маятника можно?

[Oleg Zubelevich]

Любителям ЛЛ следовало бы научиться отвечать на такие вопросы. А то как-то смешно выходит.

[EvilPhysicist]

Oleg Zubelevich в сообщении #612105 писал(а):

Как из написанного там следует, что для шара уравнения Лагранжа писать нельзя, а для маятника можно?

Как это для шара написать нельзя?

[Joker_vD]

Oleg Zubelevich в сообщении #612105 писал(а):

Все это , конечно , замечательно, но только почему сразу после раздела про функцию Лагранжа ЛЛ-1 дает задачи на выписывание лагранжиана двойного маятника и других голономных систем?

Вы спрашиваете, почему после параграфа о том, как выписывать лагранжиан механической системы, ЛЛ помещают несколько простеньких задач на выписывание лагранжиана механической системы? Э... ну чтобы читающий мог потренироваться?

[Oleg Zubelevich]

Ну да, вот так. И я уверен, что ничего более содержательного в ответ на мои вопросы и дальше не появится.
Вот Munin понимает вопрос с шаром, поэтому предусмотрительно отмалчивается.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #612680 писал(а):

Как это для шара написать нельзя?

Там неголономная связь. ЛЛ про это просто умалчивает, а Oleg Zubelevich из этого хочет мировой пожар раздуть. Большой любитель раздувания пожаров, прямо пожарных на него не напасёшься.

-- 30.08.2012 22:26:36 --

Oleg Zubelevich в сообщении #612714 писал(а):

Ну да, вот так. И я уверен, что ничего более содержательного в ответ на мои вопросы и дальше не появится.
Вот Munin понимает вопрос с шаром, поэтому предусмотрительно отмалчивается.

Я понимаю бессмысленность объяснения вам, что ЛЛ - это учебный курс, с определёнными задачами и из них очерченным объёмом. Да, промолчали про шар. Нет, это не такое преступление, чтобы за него расстреливать. Потому что им вообще не шар нужен. Им нужны уравнения Гамильтона-Якоби, и малые колебания, чтобы рассказать в следующих томах лагранжиан электромагнитного поля, разложение на осцилляторы, и уравнение Шрёдингера.

Но вам на это плевать! Вы пылаете праведным гневом! Мехматовцу недодали неголономных задач! Да не нужны они в физике почти нигде. Поэтому в физике учатся по Ландафшицу. И на этом форуме ("Ф") на него спокойно ссылаются и будут ссылаться, что бы вы ни говорили. А хотите заниматься не физикой - идите в другие разделы. Идите читайте другие учебники. Их много, Арнольд далеко не единственный. Вот только тут свои порядки пытаться устанавливать нечего.

[Oleg Zubelevich]

Ну уж и "мировой". Это все только ЛЛ-1. Но есть и другие вопросы. Вот выписывает ЛЛ-1 лагранжиан для маятника со скользящей точкой подвеса. Но система -то не замкнута. Куда воздействие со стороны точки подвеса подевалось? Как это объяснить с точки зрения их формализма?

[Joker_vD]

Oleg Zubelevich в сообщении #612749 писал(а):

Куда воздействие со стороны точки подвеса подевалось?

Учлось в выражении для потенциальной энергии. Или вам принцип д'Аламбера подавай?

[Oleg Zubelevich]

Joker_vD в сообщении #612753 писал(а):

Учлось в выражении для потенциальной энергии

в потенциальной энергии учлась сила тяжести, а не сила реакции со стороны рейки по которой скользит маятник

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #612749 писал(а):

Это все только ЛЛ-1.

Я вас знаю, вы не остановитесь.

Oleg Zubelevich в сообщении #612749 писал(а):

Вот выписывает ЛЛ-1 лагранжиан для маятника со скользящей точкой подвеса. Но система -то не замкнута. Куда воздействие со стороны точки подвеса подевалось? Как это объяснить с точки зрения их формализма?

А где ЛЛ накладывают условие замкнутости?

-- 30.08.2012 22:50:15 --

Oleg Zubelevich в сообщении #612757 писал(а):

потенциальной энергии учлась сила тяжести, а не сила реакции со стороны рейки по которой скользит маятник

Учесть можно всё что угодно.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #612765 писал(а):

А где ЛЛ накладывают условие замкнутости?

я не говорю, что накладывают, я спрашиваю, где у них изложены соображения из которых следует, что реакции связий не входят в уравнения?

[Munin]

Вообще, подход в теорфизике ровно наоборот: выписывается лагранжиан (неважно откуда), и потом уже одну его часть называют кинетической энергией, а другую - потенциальной энергией (если случайно оказывается, что он по-хорошему на них делится; а если нет - не беда, не очень-то и хотелось, см. движение заряда в магнитном поле).

-- 30.08.2012 22:52:45 --

Oleg Zubelevich в сообщении #612767 писал(а):

я не говорю, что накладывают, я спрашиваю, где у них изложены соображения из которых следует, что реакции связий не входят в уравнения?

В лагранжиан не входят, так с чего им в уравнения входить?