Пусть проекции O на стороны AB,BC,CD, AD-
, B_1,C_1,D_1 соотвественно, расстояние
- рациональное, прямая DO пересекает BC в точке D', CO пересекает AB в точке C'. Если CO и OD перпендикулярны, то
- целое, как было доказано в начале. Однако, было совместными усилиями доказано, что такой точки не существует. Если же CO и OD не перпендикулярны, то, при рациональности
,
,
,
по доказанному отношение
может быть не целым (либо утверждение про перпендикулярные прямые в квадрате обощается на произвольный угол).
Скорее всего, такого обобщения не будет. Проведём перпендикулярные прямые
и
, пересекающиеся в точке O. При этом предполагается рациональность отрезка
. Пусть теперь
делит сторону AB также в целом отношении. Но
не параллельна
. Конечно, ещё не доказано, но мне кажется, надо быть осторожней и не утверждать заведомую рациональность сразу 8 величин.
ps для доказательства или опровержения моей гипотезы можно попробовать найти гармоническую четвёрку точек, но в проективной геометрии я почти что нуль. :)
С уважением, Николай
-- 30.08.2012, 09:35 --Ваша гипотеза, очевидно, эквивалентна гипотезе Штейнгауза.
А почему, собственно говоря,
не может быть иррациональным? Сумма квадратов иррациональных чисел может быть рациональным числом. Если, впрочем этого (иррациональности
) и правда не может быть, то для меня это не очевидно.