Существование точки X внутри квадрата

[Nikolai Moskvitin]

scwec в сообщении #612299 писал(а):

целых решений нет.

Нам нужны рациональные решения.

[scwec]

Вообще, если пишется слово диофантово уравнение, то предполагается решение в целых числах. Но не будем придираться.
Рациональных решений тоже нет. Тем же невооруженным взглядом.

[Nikolai Moskvitin]

scwec в сообщении #612306 писал(а):

Рациональных решений тоже нет.

Что ж. Для этого случая, значит, такой точки не существует. Вы говорили о результатах. Найдена ли точка? (на мой взгляд, их должно быть числом, кратным 4).

[scwec]

Раз проблемы открыта, то точка не найдена. Доказано для некоторых множеств на плоскости, что они таких точек содержать не могут.
Если интересуетесь, то вот книга с многочисленными открытыми проблемами, в том числе и с этой.
Guy R.K. "Unresolved problems in number theory". 2004 год.

[Nikolai Moskvitin]

Я делаю гипотезу: точка O не может быть удалена на рациональное расстояние и от сторон квадрата, и от вершин одновременно (как раз то, что я пытался доказать в рассмотренном частном случае).

[scwec]

Ваша гипотеза, очевидно, эквивалентна гипотезе Штейнгауза. Это сразу видно из системы уравнений $(1)$, написанных Someone.

[Nikolai Moskvitin]

Пусть проекции O на стороны AB,BC,CD, AD- $A_1$, B_1,C_1,D_1 соотвественно, расстояние $OC_1$- рациональное, прямая DO пересекает BC в точке D', CO пересекает AB в точке C'. Если CO и OD перпендикулярны, то $CO:OD$- целое, как было доказано в начале. Однако, было совместными усилиями доказано, что такой точки не существует. Если же CO и OD не перпендикулярны, то, при рациональности $OC_1$, $OB_1$,$OA_1$,$OD_1$ по доказанному отношение $CO:OD$ может быть не целым (либо утверждение про перпендикулярные прямые в квадрате обощается на произвольный угол).

Скорее всего, такого обобщения не будет. Проведём перпендикулярные прямые$ DD'$ и $AA'$, пересекающиеся в точке O. При этом предполагается рациональность отрезка $AD'$. Пусть теперь $D_1' $делит сторону AB также в целом отношении. Но $DD_1'$ не параллельна $DD'$. Конечно, ещё не доказано, но мне кажется, надо быть осторожней и не утверждать заведомую рациональность сразу 8 величин.

ps для доказательства или опровержения моей гипотезы можно попробовать найти гармоническую четвёрку точек, но в проективной геометрии я почти что нуль. :)

С уважением, Николай

-- 30.08.2012, 09:35 --

scwec в сообщении #612463 писал(а):

Ваша гипотеза, очевидно, эквивалентна гипотезе Штейнгауза.

А почему, собственно говоря, $B_1C$ не может быть иррациональным? Сумма квадратов иррациональных чисел может быть рациональным числом. Если, впрочем этого (иррациональности $B_1C$) и правда не может быть, то для меня это не очевидно.

[scwec]

Если левые части $(1)$ рациональны, то
из первого и второго уравнений $(1)$ следует, что $x$ рационально,
из первого и четвертого уравнений $(1)$ следует, что $y$ рационально.
Совет. Решение проблемы Штейнгауза вряд ли лежит в плоскости элементарных приемов.
Требуются, как минимум, знания аппарата эллиптических кривых и тому подобных вещей.
Если интересно, пробуйте элементарные рассуждения, но, практически, без всякой надежды на успех. Лучше идите по пути упрощения проблемы. Например, ищите точку с тремя рациональными расстояниями до вершин или что-то в этом духе.

[Nikolai Moskvitin]

А что если поискать точку на вписанной окружности?

-- 30.08.2012, 19:04 --

Предположим, координаты точки на окружности- $(x,y)$. Тогда $x^2+y^2=\frac{1}{4}$ Тогда например $OC^2=(\frac{1}{2}-y)^2+(\frac{1}{2}-x)^2=\frac{1}{2}+x^2+y^2-x-y$, неужели это решение?!

[xmaister]

(scwec)

Пишу Вам по просьб своего товарища. Если считать доказанной гипотезу БСД, можно ли будет решить исходную задачу?

[scwec]

Для xmaister: удовлетворяю просьб Вашего товарища. Такой теоремы пока что нет. Если она появится, то станет известной всему математическому сообществу, ну и нам с Вами (как коллегам) естественно.

[hurtsy]

scwec в сообщении #612488 писал(а):

Решение проблемы Штейнгауза вряд ли лежит в плоскости элементарных приемов.
Требуются, как минимум, знания аппарата эллиптических кривых и тому подобных вещей.
Если интересно, пробуйте элементарные рассуждения, но, практически, без всякой надежды на успех.

Имхо, такое разбиение доказательств на плоскости не совсем корректно, имеется в виду пример елементарного доказательства Ердеша-Сельберга о функции $\pi(x)$.
Насчет надежды приходится с вами согласиться . С уважением