Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

[Belfegor]

Феликс Шмидель в сообщении #611618 писал(а):

Теорема
--------------


Доказательство
-----------------------

Уважаемый Феликс Шмидель! Многочисленные теоремы, леммы и их доказательства, которые вы приводите - вашего мозга дело, или вы приводите существующую теорию. И видите ли вы свет в конце тоннеля?

[Феликс Шмидель]

Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Теорема
------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - $\mathbb{Z}$-базис идеала $I$.
Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис кольца $G$.

Тогда

$N(I)=\sqrt{\frac{disc(b_1, ..., b_n)}{disc(v_1, ..., v_n)}}$.

Доказательство
-----------------------

Эта теорема является непосредственным следствием доказанного ранее равенства:

$disc(b_1, ..., b_n)=|G/I|^2 disc(v_1, ..., v_n)$.

Заметим, что $disc(v_1, ..., v_n)$ не зависит от выбора $\mathbb{Z}$-базиса кольца $G$ (поскольку матрица перехода от одного $\mathbb{Z}$-базиса к другому является унимодулярной).
Целое число $disc(v_1, ..., v_n)$ называется дискриминантом поля $F$.
Дискриминант поля $F$ может быть целым положительным или целым отрицательным числом.
Отношение $\frac{disc(b_1, ..., b_n)}{disc(v_1, ..., v_n)}$ является положительным числом (квадратом детерминанта матрицы перехода от $\mathbb{Z}$-базиса $v_1$, ..., $v_n$ к
$\mathbb{Z}$-базису $b_1$, ..., $b_n$).

Следствие
----------------

Пусть $c$ - какое-либо ненулевое число кольца $G$.
Пусть $I=(c)$ - главный идеал.

Тогда $N(I)=|N(c)|$, то есть норма главного идеала равна абсолютной величине нормы его генератора.

Доказательство
------------------------

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис кольца $G$.
Тогда $c v_1$, ..., $c v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис идеала $I$.

Имеем: $disc(с v_1, ..., с v_n)=(N(c))^2 disc(v_1, ..., v_n)$
Из этого и предыдущей теоремы следует: $(N(I))^2=(N(c))^2$.
Поскольку $N(I)$ является целым положительным числом, то $N(I)=|N(c)|$.


Теорема
-------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $B$ - полная система вычетов по модулю идеала $\rho$.
Пусть $a$ - какое-либо число из идеала $\rho$, не принадлежащее идеалу $\rho^2$.
Пусть $k$ - какое-либо целое положительное число.

Числа вида

(1) $b_{k-1} a^{k-1}+b_{k-2} a^{k-2}+...+b_0$, где $b_0$, ..., $b_{k-1}$ - числа из $B$, образуют полную систему вычетов по модулю идеала $\rho^k$.

Разным упорядоченным наборам чисел $(b_0, ..., b_{k-1})$ соответствуют несравнимые по модулю идеала $\rho^k$ числа вида (1).

Доказательство
------------------------

Предположим обратное, и пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого лемма неверна.
Тогда $k>1$ (поскольку при $k=1$ лемма верна).
Пусть $(b_0, ..., b_{k-1})$ и $(c_0, ..., c_{k-1})$ - два набора чисел из $B$.
Пусть

(2) $b_{k-1} a^{k-1}+b_{k-2} a^{k-2}+...+b_0 \equiv c_{k-1} a^{k-1}+c_{k-2} a^{k-2}+...+c_0$ по модулю идеала $\rho^k$
.
Покажем, что $b_0=c_0$, ..., $b_{k-1}=c_{k-1}$.

Из (2) следует:

(3) $b_{k-2} a^{k-2}+b_{k-3} a^{k-3}+...+b_0 \equiv c_{k-2} a^{k-2}+c_{k-3} a^{k-3}+...+c_0$ по модулю идеала $\rho^{k-1}$

В силу минимальности $k$, $b_0=c_0$, ..., $b_{k-2}=c_{k-2}$.
Теперь из (2) следует:

(4) $b_{k-1} a^{k-1} \equiv c_{k-1} a^{k-1}$ по модулю идеала $\rho^k$.

Поскольку $a^{k-1}$ делится на $\rho^{k-1}$ и не делится на $\rho^k$, то

(5) $b_{k-1} \equiv c_{k-1}$ по модулю идеала $\rho$.

Из (5) следует: $b_{k-1}=c_{k-1}$ поскольку числа $b_{k-1}$ и $c_{k-1}$ принадлежат полной системе вычетов по модулю идеала $\rho$.

Мы доказали, что числа вида (1) несравнимы друг с другом по модулю идеала $\rho^k$, при разных упорядоченных наборах чисел $(b_0, ..., b_{k-1})$ из $B$.

Пусть $d$ - произвольное число из кольца $G$.
Покажем, что $d$ сравнимо с числом вида (1) по модулю идеала $\rho^k$.
В силу минимальности $k$, $d$ сравнимо с числом вида $b_{k-2} a^{k-2}+b_{k-3} a^{k-3}+...+b_0$ по модулю идеала $\rho^{k-1}$.

Пусть $d_1=d-(b_{k-2} a^{k-2}+b_{k-3} a^{k-3}+...+b_0)$.

Тогда число $d_1$ делится на идеал $\rho^{k-1}$.

Сравнение

(6) $x a^{k-1} \equiv d_1$ по модулю идеала $\rho^k$

имеет решение $x \in G$, поскольку число $d_1$ делится на идеал $(a^{k-1}, \rho^k)=\rho^{k-1}$.

Пусть $b_{k-1}$ - вычет из $B$, сравнимый с $x$ по модулю идеала $\rho$.
Из (6) следует:

(7) $b_{k-1} a^{k-1} \equiv d_1$ по модулю идеала $\rho^k$.

Из (7) следует: $d \equiv b_{k-1} a^{k-1}+b_{k-2} a^{k-2}+...+b_0$ по модулю идеала $\rho^k$, что и требовалось.

Этой теоремы нет в Гекке, я придумал её сам.
Следствием этой теоремы является равенство $N(\rho^k)=N(\rho)^k$, из которого следует ещё одно доказательство мультипликативности нормы идеалов.
Сначала мы доказали китайскую теорему об остатках для идеалов, следствием которой является мультипликативность нормы идеалов в случае произведения взаимно-простых идеалов.
Затем мы доказали условие разрешимости линейных сравнений по модулю идеала, которое использовали в этой теореме (и в первом доказательстве мультипликативности нормы идеалов).

Следствие
----------------
Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $k$ - целое положительное число.

В полной системе вычетов по модулю идеала $\rho^k$ имеется $N(\rho)^k-N(\rho)^{k-1}$ чисел, взаимно-простых с $\rho$.

Доказательство
-------------------------

Число вида (1) делится на $\rho$ если $b_0 \equiv 0$ по модулю $\rho$.
В этом случае, числа $b_1$, ..., $b_{k-1}$ могут быть произвольными вычетами по модулю $\rho$,
поэтому имеется $N(\rho)^{k-1}$ чисел, вида (1), делящихся на $\rho$.
Остальные числа вида (1) взаимно-просты с $\rho$.
Этих чисел имеется $N(\rho)^k-N(\rho)^{k-1}$, что и требовалось.


Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $B$ - полная система вычетов по модулю $I$.
Колличество чисел в $B$, взаимно-простых с идеалом $I$, называется функцией Эйлера для идеалов и обозначается $\varphi(I)$.
Мы доказали, что $\varphi(\rho^k)=N(\rho)^k-N(\rho)^{k-1}$ для степени простого идеала $\rho$.


Теорема
--------------

Пусть $I$ и $J$ - взаимно-простые идеалы.
Тогда $\varphi(I J)=\varphi(I)\varphi(J)$

Доказательство
-----------------------

Пусть $a$ и $b$ - такие числа кольца $G$, что $(a, IJ)=I$ и $(b, IJ)=J$.
Пусть выбраны полные ситемы вычетов по модулю идеала $I$ и по модулю идеала $J$.
Числа вида

(8) $a x+b y$, где $x$ пробегает полную систему вычетов по модулю $J$, а $y$ пробегает полную систему вычетов по модулю $I$,

образуют полную систему вычетов по модулю $IJ$.

(Это было бы неверно, если бы идеалы $I$ и $J$ не была взаимно-простыми. В этом случае, мы видели, что числа $ax+y$ образуют полную систему вычетов по модулю идеала $I J$).

Числа вида (8) взаимно-просты с идеалом $I J$ тогда и только тогда, когда число $x$ взаимно-просто с идеалом $J$, а число $y$ взаимно-просто с идеалом $I$.
Значит $\varphi(I J)=\varphi(I)\varphi(J)$.


Следствие
----------------

$\varphi(I)=N(I)\prod_{\rho | I}(1-\frac{1}{N(\rho)})$, где $\rho$ в произведении пробегает все простые делители идеала $I$.

[Феликс Шмидель]

Belfegor в сообщении #611999 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #611618 писал(а):

Теорема
--------------


Доказательство
-----------------------

Уважаемый Феликс Шмидель! Многочисленные теоремы, леммы и их доказательства, которые вы приводите - вашего мозга дело, или вы приводите существующую теорию. И видите ли вы свет в конце тоннеля?

Это существующая теория алгебраических чисел. Никакого света в конце тоннеля я не вижу.
Я законспектировал около трети книги Гекке "Теория алгебраических чисел".
Закон квадратичной взаимности доказывается в конце книги, и пока я до него дойду возьмёт время.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Теорема
--------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $\varphi(x)$ - функция Эйлера для идеалов.
Пусть $a$ - какое-либо число из кольца $G$, взаимно-простое с идеалом $I$.

Тогда $a^{\varphi(I)} \equiv 1$ по модулю идеала $I$.

Доказательство
------------------------

Пусть

(1) $b_1$, ..., $b_m$ - все взаимно-простые с идеалом $I$ числа некоторой полной системы вычетов по модулю идеала $I$, где $m=\varphi(I)$.

Числа

(2) $a b_1$, ..., $a b_m$

несравнимы друг с другом по модулю идеала $I$.

Поскольку числа (2) взаимно просты с идеалом $I$, то каждому числу из (2) соответствует сравнимое с ним число из (1).

Это соответствие чисел из (1) числам из (2) является взаимно-однозначным, поскольку различные числа из (2) сравнимы с различными числами из (1).

Значит произведение всех чисел (1) сравнимо с произведением всех чисел из (2) по модулю идеала $I$, то есть:

(3) $a^m (b_1...b_m) \equiv (b_1...b_m)$ по модулю идеала $I$.

Поскольку число $(b_1...b_m)$ взаимно-просто с идеалом $I$, то из (3) следует: $a^m \equiv 1$ по модулю идеала $I$, что и требовалось.


Теорема (малая теорема Ферма для идеалов)
-----------------------------------------------------------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $a$ - какое-либо число из кольца $G$, не делящееся на идеал $\rho$.

Тогда $a^{N(\rho)-1} \equiv 1$ по модулю идеала $\rho$.

Доказательство
------------------------

Эта теорема следует из предыдущей, поскольку $\varphi(\rho)=N(\rho)-1$.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Другое доказательство предыдущей теоремы:

Теорема
--------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $\varphi(x)$ - функция Эйлера для идеалов.
Пусть $a$ - какое-либо число из кольца $G$, взаимно-простое с идеалом $I$.

Тогда $a^{\varphi(I)} \equiv 1$ по модулю идеала $I$.

Доказательство
------------------------

Определим в фактор группе по сложению $G/I$ операцию умножения следующим образом:
Произведением двух смежных классов $b+I$ и $c+I$ называется класс $(bc)+I$.
Это определение не зависит от выбора элементов $b$ и $c$.
Заметим также, что это определение не совпадает с определением произведения множеств, которое было дано ранее.
Смежные классы $b+I$, такие, что число $b$ взаимно-просто с идеалом $I$, образуют множество $H$ смежных классов.
Покажем, что $H$ является абелевой группой по умножению с единичным элементом $1+I$.
Если $b+I$ и $c+I$ принадлежат множеству $H$, то $(bc)+I$ принадлежит $H$, поскольку число $(bc)$ взаимно-просто с идеалом $I$.
Если смежный класс $b+I$ принадлежит множеству $H$, то сравнение $x b \equiv 1$ по модулю идеала $I$ имеет решение $x \in G$, поскольку число $b$ взаимно-просто с идеалом $I$.
Это решение $x$ взаимно-просто с идеалом $I$, и смежный класс $x+I$ является обратным элементом смежного класса $b+I$ по умножению.
Значит множество смежных классов $H$ является абелевой группой по умножению.
Заметим, что $H$ не является подгруппой группы $G/I$ по сложению, поскольку сумма двух элементов $H$ может не принадлежать $H$.
Поскольку порядок группы по умножению $H$ равен $\varphi(I)$, то:

(1) $(a+I)^{\varphi(I)}=(1+I)$.

Из (1) следует: $a^{\varphi(I)} \equiv 1$ по модулю идеала $I$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Лемма
-------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Тогда $N(\rho)=p^f$, где $p$ - простое число, которое делится на идеал $\rho$, а $f$ - целое положительное число, не большее $n$.

Число $f$ называется степенью простого идеала $\rho$.

Доказательство
-------------------------

Поскольку любой ненулевой идеал является делителем некоторого главного идеала, а тот, в свою очередь является делителем своей нормы, то любой ненулевой идеал является делителем некоторого целого положительного числа.
Простой идеал $\rho$ является делителем некоторого целого положительного числа $m$.
Число $m$ разлагается в произведение степеней простых чисел, одно из которых делится на $\rho$.
Таким образом, существует простое число $p$, которое делится на идеал $\rho$.
Норма $N(p)=p^n$ делится на $N(\rho)$, поэтому $N(\rho)=p^f$, что и требовалость.

Теорема
--------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Ранг фактор группы по сложению $G/\rho$ равен степени $f$ простого идеала $\rho$.

Доказательство
-----------------------

Пусть $N(\rho)=p^f$.

Поскольку простое число $p$ делится на идеал $\rho$, то для любого числа $x \in G$:

(1) $px \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$.

Из (1) следует, что любой ненулевой элемент фактор группы по сложению $G/\rho$ имеет порядок $p$.

Следовательно в разложении абелевой группы по сложению $G/\rho$ в прямую сумму циклических подгрупп, все подгруппы имеют порядок $p$.
Поскольку порядок группы $G/\rho$ равен $p^f$, то колличество этих подгрупп равно $f$.
Значит ранг группы $G/\rho$ равен $f$, что и требовалось.

Теорема
----------------

Пусть $a_0$, ..., $a_{m-1}$ - какие либо числа кольца $G$.
Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал.

Сравнение

(2) $x^m+a_{m-1} x^{m-1}+...+a_0 \equiv 0$ по модулю простого идеала $\rho$ имеет не более $m$ несравнимых друг с другом (по модулю идеала $\rho$) решений $x \in G$.

Доказательство
-----------------------

Предположим обратное, и пусть $m$ - наименьшее целое положительное число для которого сравнение (2) имеет более $m$ несравнимых решений.
Имеем: $m>1$, поскольку при $m=1$, число решений сравнения (2) равно 1.
Пусть $x_1 \in G$ - какое-либо решение сравнения (2).
Разделим полином (2) на $(x-x_1)$ с остатком, получим:

(3) $x^m+a_{m-1} x^{m-1}+...+a_0=(x-x_1)(x^{m-1}+b_{m-2} x^{m-2}+...+b_0)+c$,

где $b_0$, ..., $b_{m-2}$, и также остаток $c$ принадлежат кольцу $G$ (согласно алгоритму деления полиномов в столбик).

Подставляя $x=x_1$ в (3) получим $c \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$, и сравнение (2) получает вид:

(4) $(x-x_1)(x^{m-1}+b_{m-2} x^{m-2}+...+b_0) \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$.

Любое решение сравнения (4), несравнимое с $x_1$ (по модулю идеала $\rho$) является решением сравнения

(5) $x^{m-1}+b_{m-2} x^{m-2}+...+b_0 \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$,

поскольку $\rho$ - простой идеал.

В силу минимальности $m$, сравнение (5) имеет не более $(m-1)$ несравнимых решений $x \in G$.
Следовательно, сравнение (4) и сравнение (2) имеют не более $m$ несравнимых решений, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Теорема
--------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $N(\rho)=p^f$, где $p$ - простое число, а $f$ - целое положительное число.
Пусть $a$ - какое-либо число кольца $G$.

Для того, чтобы $a$ было сравнимо с целым рациональным числом по модулю идеала $\rho$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось сравнение:

(1) $a^p \equiv a$ по модулю идеала $\rho$.

Доказательство
------------------------

Если $a$ - целое рациональное число, то сравнение (1) выполняется в силу малой теоремы Ферма (поскольку $p$ делится на $\rho$).
Поэтому оно выполняется, если $a$ сравнимо с целым рациональным числом по модулю идеала $\rho$.
Пусть, теперь, сравнение (1) выполняется.
Докажем, что $a$ сравнимо с целым рациональным числом по модулю идеала $\rho$.

Сравнение

(2) $x^p \equiv x$ по модулю идеала $\rho$

имеет не более $p$ несравнимых друг с другом по модулю идеала $\rho$ решений $x \in G$.

Но $p$ чисел:

(3) $0$, $1$, ..., $p-1$

являются решениями сравнения (2), несравнимыми друг с другом по модулю идеала $\rho$.

Поэтому любое число $x \in G$, удовлетворяющее сравнению (2), сравнимо с одним из чисел (3).
В частности $a$ сравнимо с одним из чисел (3), что и требовалось.


Лемма
-----------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Кольцо $G/\rho$ c определённым ранее умножением смежных классов является конечным полем.
Группа $H$ по умножению этого поля (без нулевого элемента) является циклической.

Доказательство
-----------------------

Мы уже доказывали, что $H$ - абелева группа по умножению.
Поскольку кольцо $G/\rho$ без нулевого элемента является абелевой группой по умножению, то $G/\rho$ является полем.
Поскольку кольцо $G/\rho$ конечно, то оно является конечным полем.
Поскольку группа $H$ конечна, и является подгруппой поля по умножению, то как мы уже доказывали, она циклическая.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.


Пусть $I$ - какой-либо идеал кольца $G$, и $r \in F$ - какое-либо алгебраическое число (не обязательно целое).
Множество $r I$ чисел поля $F$ называется дробным идеалом.
Любой идеал является дробным идеалом (при $r=1$).
Дробный идеал, содержащийся в кольце $G$ является идеалом.


Лемма
----------

Произведение дробных идеалов является дробным идеалом.

Доказательство
-------------------------

Пусть $r_1 I$ и $r_2 J$ - какие-либо дробные идеалы, где $r_1$ и $r_2$ - алгебраические числа поля $F$, а $I$ и $J$ - идеалы кольца $G$.

Тогда $(r_1 I)(r_2 J)=(r_1 r_2) (IJ)$.

Это следует из того, произведениe вида $(r_1 a)(r_2 b)$ равно $(r_1 r_2) (ab)$, и в конечных суммах таких произведений $(r_1 r_2)$ можно вынести за скобки.


Теорема
--------------

Ненулевые дробные идеалы образуют группу по умножению.

Чтобы доказать это, для любого ненулевого дробного идеала $A$, найдём обратный к нему дробный идеал $A^{-1}$, то есть такой, что $A A^{-1}=G$.
Для этого, определим дробный идеал $A^{-1}$ и докажем несколько лемм.

Пусть $A$ - ненулевой дробный идеал.
Определим $A^{-1}$ как множество всех таких алгебраических чисел $x$ поля $F$, что $x A \subseteq G$.


Лемма
-----------

Пусть $I$ - ненулевой идеал, и $r \in F$ - ненулевое алгебраическое число.
Тогда $(r I)^{-1}=r^{-1} I^{-1}$.

Доказательство
--------------------------

Алгебраическое число $x$ принадлежит множеству $(r I)^{-1}$ тогда и только тогда, когда $x (rI) \subseteq G$.
Алгебраическое число $x$ принадлежит множеству $r^{-1} I^{-1}$ тогда и только тогда, когда $x r \in I^{-1}$, а это выполняется тогда и только тогда , когда $(x r) I\subseteq G$.

Значит $(r I)^{-1}=r^{-1} I^{-1}$.


Лемма
------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Тогда множество $I^{-1}$ является дробным идеалом, содержащим кольцо $G$.

Доказательство
------------------------

Множество $I^{-1}$ содержит $G$, потому что для любого $x \in G: x I \subseteq I \subseteq G$.

(1) Множество $I^{-1}$ является абелевой группой по сложению, поскольку из $x I \subseteq G$ и $y I \subseteq G$ следует $(x-y) I \subseteq G$.

Пусть $d$ - какой-либо элемент кольца $G$.
Покажем, что $d I^{-1} \subseteq I^{-1}$.
Пусть $d x$ - какой-либо элемент множества $d I^{-1}$, где $x \in I^{-1}$.
Тогда $x I \subseteq G$, следовательно $d x I \subseteq G$ следовательно $d x \in I^{-1}$.
Значит:

(2) Для любого числа $d \in G$: $d I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Пусть $c$ - какой-либо ненулевой элемент идеала $I$.
Из (1) следует:

(3) множество $c I^{-1}$ является абелевой группой по сложению.

Из (2) следует:

(4) Для любого числа $d \in G$: $d c I^{-1} \subseteq c I^{-1}$.

Из определения множества $I^{-1}$ следует:

(5) $c I^{-1} \subseteq G$.

Из (3), (4) и (5) вместе следует, что $c I^{-1}$ является идеалом.

Значит $I^{-1}$ является дробным идеалом, что и требовалось.


Лемма
-----------

Пусть $I$ - собственный ненулевой идеал.
Тогда дробный идеал $I^{-1}$ содержит кольцо $G$, но не совпадает с ним.

Доказательство
------------------------

В предыдущей лемме, мы показали, что $I^{-1}$ содержит $G$.
Поскольку $I$ - собственный идеал, то существует такое алгебраическое число $r$, не являющееся целым, что $r I \subseteq G$.
Следовательно, $r \in I^{-1}$, что и требовалось.


Лемма
-------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Тогда $I I^{-1}=G$.

Доказательство
-------------------------

Множество $I I^{-1}$ является дробным идеалом (как произведение дробных идеалов).
Из определения множества $I^{-1}$ следует: $I I^{-1} \subseteq G$.
Значит $I I^{-1}$ является идеалом.

Предположим обратное: $I I^{-1} \not = G$.
Тогда существует такое алгебраическое число $r \in F$, не являющееся целым, что:

(6) $r I I^{-1} \subseteq G$.

Из (6) следует $r I^{-1} I\subseteq G$, следовательно:

(7) $r I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Как мы знаем, из (7) следует, что $r$ - целое алгебраическое число в противоречии с тем, что $r$ не является целым.

[Феликс Шмидель]

Исправление
---------------------

Феликс Шмидель в сообщении #613053 писал(а):

(7) $r I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Как мы знаем, из (7) следует, что $r$ - целое алгебраическое число в противоречии с тем, что $r$ не является целым.

исправляется на

(7) $r I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Пусть $c$ - какой-либо ненулевой элемент идеала $I$.
Из (7) следует:

(8) $r (c I^{-1}) \subseteq (c I^{-1})$.

Поскольку $c I^{-1}$ - идеал, то как мы знаем, из (8) следует, что $r$ - целое алгебраическое число в противоречии с тем, что $r$ не является целым.

[Феликс Шмидель]

Исправление
----------------------

Феликс Шмидель в сообщении #610581 писал(а):

Теорема
---------------

Любой ненулевой собственный идеал разлагается в произведение конечного числа простых идеалов (которое может состоять и из одного сомножителя).

Доказательство
--------------------------

Предположим обратное, и пусть $S$ - множество ненулевых собственных идеалов, которые не разлагаются в конечное число простых идеалов.
Пусть $I$ - максимальный идеал в $S$.
Поскольку $I \in S$, то $I$ не является простым идеалом.
Пусть $J$ - какой-либо простой идеал, содержащий $I$.
Тогда $I$ делится на $J$, следовательно существует такой идеал $L$, что

(1) $I=JL$

Если $L=I$, то из (1) получим $J=G$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал.
Если $L=G$, то из (1) получим $J=I$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал, а $I$ - нет.
Пусть $L$ - идеал, отличный от $I$ и от $J$.
Из (1) следует, что $I$ содержится в $L$.
В силу максимальности идеала $I$ в $S$, идеал $L$ не принадлежит $S$.
Поскольку $L$ - ненулевой, собственный идеал, не принадлежащий $S$, то $L$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов.
Из этого и из (1) следует, что $I$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов, что противоречит принадлежности $I$ к $S$.

исправляется на:

Теорема
---------------

Любой ненулевой собственный идеал разлагается в произведение конечного числа простых идеалов (которое может состоять и из одного сомножителя).

Доказательство
--------------------------

Предположим обратное, и пусть $S$ - множество ненулевых собственных идеалов, которые не разлагаются в конечное число простых идеалов.
Пусть $I$ - максимальный идеал в $S$.
Поскольку $I \in S$, то $I$ не является простым идеалом.
Пусть $J$ - какой-либо простой идеал, содержащий $I$.
Тогда $I$ делится на $J$, следовательно существует такой идеал $L$, что

(1) $I=JL$

Если $L=I$, то из (1) получим $J=G$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал.
Если $L=G$, то из (1) получим $J=I$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал, а $I$ - нет.
Пусть $L$ - идеал, отличный от $I$ и от $G$.
Из (1) следует, что идеал $I$ содержится в идеале $L$.
В силу максимальности идеала $I$ в $S$, идеал $L$ не принадлежит $S$.
Поскольку $L$ - ненулевой, собственный идеал, не принадлежащий $S$, то $L$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов.
Из этого и из (1) следует, что $I$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов, что противоречит принадлежности $I$ к $S$.

[Феликс Шмидель]

Нас интересует поле $\mathbb{Q}(i_n, \sqrt[n]{2})$ , где $n$ - простое число.
Здесь $i_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ - корень $n$-ой степени из 1.
Мы уже говорили, что свойства этого поля зависят от того, делится ли $2^{n-1}-1$ на $n^2$ или нет.
Если $2^{n-1}-1$ не делится на $n^2$, то существует простое доказательство ВТФ, основанное на законе взаимности в поле $\mathbb{Q}(i_n)$.
Поэтому, нас особенно интересует случай, когда $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$.

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.
Поэтому можно ожидать, что дискриминант расширения $K:F$ равен 1 по абсолютной величине.
Но что такое дискриминант расширения $K:F$? Это норма дифференты расширения $K:F$.
А что такое дифферента? Это новое для меня понятие в теории алгебраических чисел.
Я сейчас занимаюсь изучением этого понятия по Гекке и другим источникам.
Думаю, что скоро смогу написать сообщение на эту тему.

[Феликс Шмидель]

Исправление
----------------------

Феликс Шмидель в сообщении #614072 писал(а):

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.
Поэтому можно ожидать, что дискриминант расширения $K:F$ равен 1 по абсолютной величине.

исправляется на:

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый нечётный идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.
Поэтому можно ожидать, что дискриминант расширения $K:F$ равен $2^m$, где $m$ - целое положительное число (или идеалу, генерируемому этим числом, чему именно, увидим в дальнейшем).

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Расширение полей $K:F$ называется относительным, в отличие от расширения $K:\mathbb{Q}$, которое называется абсолютным.
Для любого числа $a$ поля $K$ определяются относительный минимальный полином, относительный характеристический полином, относительная норма, относительный след.

Число $g$ является корнем относительного минимального полинома $p(x)$, с коэффициентами из поля $F$.
Все корни полинома $p(x)$ являются также корнями минимального полинома числа $g$ над полем рациональных чисел, с целыми коэффициентами.
Поэтому все корни полинома $p(x)$ являются целыми алгебраическими числами, и все коэффициенты этого полинома, будучи симметричными функциями корней, принадлежат $G_F$.

Пусть $f_1, ..., f_n$ - мономорфизмы из поля $K$ в поле $\mathbb{C}$ комплексных чисел, оставляющие поле $F$ неподвижным.

Каждый из этих мономорфизмов переводит число $g$ в один из сопряжённых с ним корень полинома $p(x)$.

Относительной нормой числа $a \in K$ называется число:

$N_{K/F}(a)=f_1(a) f_2(a)...f_n(a)$,

то есть произведение всех сопряжённых с $a$ относительно поля $F$ чисел (возможно, с повторениями).

Относительным следом числа $a \in K$ называется число:

$T_{K/F}(a)=f_1(a)+ f_2(a)+...+f_n(a)$,

то есть сумма всех сопряжённых с $a$ относительно поля $F$ чисел (возможно, с повторениями).

Полином $(x-f_1(a))(x-f_2(a))...(x-f_n(a))$ называется относительным характеристическим полиномом числа $a$ в поле $K$.

Любому идеалу $I$ кольца $G_F$ соответствует идеал $I G_K$ кольца $G_K$ (где $I G_K$ - произведение множеств чисел).


Лемма
----------

Пусть $I$ - собственный идеал кольца $G_F$.
Тогда $I G_K$- собственный идеал кольца $G_K$.


Доказательство
--------------------

Пусть $r \in F$ - такое алгебраическое число, не являющееся целым, что $rI \subseteq G_F$.
Тогда

(1) $r I G_K \subseteq G_F G_K =G_K$.

Предположим обратное: $I G_K=G_K$.
Тогда из (1) следует:

(2) $r G_K \subseteq G_K$.

Из (2) следует, что $r$ - целое алгебраическое число, в противоречии с выбором числа $r$.


Лемма
------------

Пусть $I$ - идеал кольца $G_F$.
Тогда $G_F \cap (I G_K)=I$.


Доказательство
--------------------

Идеал $I$ содержится в кольце $G_F$ по определению идеала.
Идеал $I$ содержится в $I G_K$, поскольку кольцо $G_K$ содержит $1$.
Значит $I \subseteq G_F \cap (I G_K)$.
Пусть $J=G_F \cap (I G_K)$.
Тогда $J$ - идеал кольца $G_F$, содержащий идеал $I$ и, следовательно, делящий его.
Пусть

(3) $I=JL$, где $L$ - идеал кольца $G_F$.

Умножив равенство (3) на $G_K$, получим: $I G_K=J G_K L=I G_K L=I G_K L G_K$ (равенство $J G_K=I G_K$ следует из $I \subseteq J$ и $J \subseteq (I G_K)$ умножением этих включений на $G_K$), значит:

(4) $I G_K=(I G_K) (L G_K)$

Из (4) следует:

(5) $L G_K=G_K$.

Из (5) и предыдущей леммы следует:

(6) $L=G_F$

Из (3) и (6) следует $I=J$, что и требовалось.


Идеал $I G_K$ разлагается в произведение степеней простых идеалов кольца $G_K$.


Лемма
----------

Пусть $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$.
Тогда $\rho$ является делителем идеала $P G_K$, где $P$ - некоторый простой идеал кольца $G_F$.

Доказательство
----------------------

Пусть $p$ - простое число, делящееся на идеал $\rho$.
Пусть

(7) $p G_F=P_1...P_m$ - разложение идеала $p G_F$ в произведение простых идеалов кольца $G_F$ (среди сомножителей могут быть одинаковые).

Помножив (7) на $G_K$ получим:

(8) $p G_K=(P_1 G_K)...(P_m G_K)$.

Поскольку идеал $\rho$ делит идеал $p G_K$, то $\rho$ делит один из сомножителей в правой части равенства (8), что и требовалось.


Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$ и

(9) $P G_K=\prod_{j=1}^m \rho_j^{e_j}$ - разложение идеала $P G_K$ в произведение степеней простых идеалов

($e_1$, ..., $e_m$ - целые положительные числа).

Говорят, что простые идеалы $\rho_1$, ..., $\rho_m$ (кольца $G_K$) лежат над простым идеалом $P$ (кольца $G_F$).

Показатель степени $e_j$ называется индексом ветвления простого идеала $\rho_j$.
Если индекс ветвления $e_j>1$, то простой идеал $\rho_j$ называется ветвящимся.
Простой идеал $P$ (кольца $G_F$) называется ветвящимся (в кольце $G_K$), если хотя бы один индекс ветвления в разложениии (9) больше $1$.


Лемма
-------------------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$, и $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$ над идеалом $P$.
Тогда $P=\rho \cap G_F$.


Доказательство
----------------------------

Поскольку идеал $P G_K$ делится на идеал $\rho$, то идеал $\rho$ содержит идеал $P G_K$, который содержит идеал $P$ (поскольку $1 \in G_K$).
Поскольку идеал $\rho$ - простой, то $1 \not \in \rho$, следовательно идеал $\rho$ не содержит кольцо $G_F$.
Поэтому $\rho \cap G_F$ - собственный идеал в $G_F$, содержащий простой идеал $P$.
Следовательно, $P=\rho \cap G_F$, что и требовалось.


Лемма
----------------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$, и $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$ над идеалом $P$.
Тогда

(10) $N(\rho)=N(P)^f$, где $f$ - некоторое целое положительное число.

В равенстве (10), $N(\rho)$ - абсолютная норма идеала $\rho$ в кольце $G_K$, а $N(P)$ - абсолютная норма идеала $P$ в кольце $G_F$.


Доказательство
---------------------------

Фактор группы по сложению $G_K/\rho$ и $G_F/P$ являются полями (при определении произведения смежных классов, которое было дано ранее).
Подчеркнём ещё раз, что произведение множеств чисел имеет другое определение.
Элементы поля $G_F/P$ не принадлежат полю $G_K/\rho$, поэтому было бы неправильно сказать, что поле $G_K/\rho$ содержит поле $G_F/P$.
Покажем, однако, что поле $G_F/P$ изоморфно некоторому подполю поля $G_K/\rho$.
Определим функцию $\varphi$ из поля $G_F/P$ в поле $G_K/\rho$ следующим образом: $\varphi(P+a)=\rho+a$, где $a$ - какой-либо элемент кольца $G_F$.
Функция $\varphi$ определена корректно, потому что из $(a-b) \in P$ следует $(a-b) \in \rho$ (поскольку $P=\rho \cap G_F$).
Функция $\varphi$ иньективна, потому что из $(a-b) \in \rho$ следует $(a-b) \in P$ (поскольку $P=\rho \cap G_F$; здесь $a \in G_F$ и $b \in G_F$, следовательно $(a-b) \in G_F$).
Функция $\varphi$ является мономорфизмом из одного поля в другое, поэтому образ $\varphi(G_F/P)$ является полем, изоморфным полю $G_F/P$.
Пусть $f=[(G_K/\rho):\varphi(G_F/P)]$ - cтепень расширения полей $(G_K/\rho):\varphi(G_F/P)$.
Базис этого расширения полей имеет $f$ элементов, и имеется $|\varphi(G_F/P)|^f$ различных линейных комбинаций с элементами этого базиса и коэффициентами из поля $\varphi(G_F/P)$.
Таким образом $|G_K/\rho|=|\varphi(G_F/P)|^f=|G_F/P|^f$, что и требовалось.

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$, и $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$ над идеалом $P$.
Целое положительное число $f$, удовлетворяющее равенству (10) называется относительной степенью идеала $\rho$ (кольца $G_K$).

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.


Лемма
---------

Пусть $a$ - какое либо число кольца $G_F$.
Тогда

(1) $N(a G_K)=N(a G_F)^n$.


Доказательство
----------------------

Пусть $p(x)$ - минимальный полином числа $a$ над полем рациональных чисел.
Пусть $f(x)$ - характеристический полином числа $a$ в поле $F$.
Пусть $h(x)$ - характеристический полином числа $a$ в поле $K$.

Поскольку $f(x)$ и $h(x)$ являются степенями полинома $p(x)$, и степень полинома $h(x)$ делится на степень полинома $f(x)$, то полином $h(x)$ является степенью полинома $f(x)$.
Степень полинома $f(x)$ равна $[F:\mathbb{Q}]$, а степень полинома $h(x)$ равна $[K:\mathbb{Q}]$.
Поскольку $[K:\mathbb{Q}]/[F:\mathbb{Q}]=[K:F]=n$, то

(2) $h(x)=f(x)^n$.

Из (2) следует:

(3) $h(0)=f(0)^n$.

Поскольку $N(a G_F)=(-1)^{degree(f(x))} f(0)$ и $N(a G_K)=(-1)^{degree(h(x))} h(0)$, то из (3) следует (1), что и требовалось.


Лемма
----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Тогда

(4) $N(P G_K)=N(P)^{n_1}$, где $n_1$ - целое положительное число.

На самом деле $n_1=n$, но это будет доказано в следующей лемме.


Доказательство
--------------------

Определим функцию $\varphi$ из поля $G_F/P$ в кольцо $G_K/(P G_K)$ следующим образом: $\varphi(P+a)=(P G_K)+a$, где $a$ - какой-либо элемент кольца $G_F$.
Функция $\varphi$ определена корректно, потому что из $(a-b) \in P$ следует $(a-b) \in (P G_K)$ (поскольку $1 \in G_K$).
Функция $\varphi$ иньективна, потому что из $(a-b) \in (P G_K)$ следует $(a-b) \in P$ (поскольку $P=G_F \cap (P G_K)$; здесь $a \in G_F$ и $b \in G_F$, следовательно $(a-b) \in G_F$).
Функция $\varphi$ является мономорфизмом из поля в кольцо, поэтому образ $\varphi(G_F/P)$ является полем, изоморфным полю $G_F/P$.
Кольцо $G_K/(P G_K)$ является векторным пространством над полем $\varphi(G_F/P)$.
Пусть $n_1$ - размерность этого векторного пространства.
Тогда $|G_K/(P G_K)|=|\varphi(G_F/P)|^{n_1}=|G_F/P|^{n_1}$.
Значит $N(P G_K)=N(P)^{n_1}$, что и требовалось.


Лемма
----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Тогда $N(P G_K)=N(P)^n$.


Доказательство
---------------------

Пусть простое число $p$ делится на идеал $P$.
Пусть $a$ - такой элемент идеала $P$, что $(a, P(p G_F))=P$ или:

(5) $(\frac{(a G_F)}{P}, p G_F)=G_F$.

Пусть

(6) $a G_F=P_1...P_m$ - разложение идеала $a G_F$ в произведение простых идеалов, где $P_1=P$, и среди сомножителей могут быть одинаковые.

Если $m=1$, то $P=a G_F$ и утверждение этой леммы следует из (1).
Пусть $m>1$.
Беря нормы правой и левой части равенства (6) получим:

(7) $N(a G_F)=N(P_1)...N(P_m)$

Умножая равенство (6) на $G_K$, получим:

(8) $a G_K=(P_1 G_K)...(P_m G_K)$.

Беря нормы правой и левой части равенства (8) и используя (1) и (4), получим:

(9) $N(a G_F)^n=N(P_1)^{n_1}...N(P_m)^{n_m}$, где $n_1$, ..., $n_m$ - целые положительные числа.

Из (7) следует:

(10) $N(a G_F)^n=N(P_1)^n...N(P_m)^n$.

В силу (5) и (6), простое число $p$ не делится на простые идеалы $P_2$, ..., $P_m$.
Поэтому нормы этих идеалов равны степеням других простых чисел (не $p$).
Наибольшая степень простого числа $p$, на которую делится правая часть равенства (9) равна $N(P_1)^{n_1}$.
Наибольшая степень простого числа $p$, на которую делится правая часть равенства (10) равна $N(P_1)^n$.
Значит $n_1=n$, что и требовалось.


Лемма
-----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Пусть

(11) $P G_K=\prod_{j=1}^m \rho_j^e_j$ - разложение идеала $P G_K$ в произведение степеней простых идеалов.

Пусть $f_1$, ..., $f_m$ - относительные степени идеалов $\rho_1$, ..., $\rho_m$.

Тогда $e_1 f_1+...+e_m f_m=n$.


Доказательство
----------------------

Беря абсолютные нормы правой и левой части равенства (11) получим:

(12) $N(P G_K)=\prod_{j=1}^m N(\rho_j)^{e_j}=N(P)^{(e_1 f_1+...+e_m f_m)}$.

Из предыдущей леммы и (12) следует: $e_1 f_1+...+e_m f_m=n$, что и требовалось.


Пусть $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$, и $P$ - простой идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$.
Пусть $f$ - относительная степень простого идеала $\rho$.

Относительной нормой простого идеала $\rho$ называется идеал (кольца $G_F$):

$N_{K/F}(\rho)=P^f$.

Пусть $I$ - идеал кольца $G_K$.
Пусть $I=\prod_{j=1}^m \rho_j^{k_j}$ - разложение идеала $I$ в произведение степеней простых идеалов.

Относительной нормой идеала $I$ называется идеал (кольца $G_F$):

$N_{K/F}(I)=\prod_{j=1}^m (N_{K/F}(\rho_j))^{k_j}$.

Это определение распространяется и на дробные идеалы $I$ (в этом случае некоторые показатели степеней $k_j$ могут быть отрицательными).


Лемма
----------

Пусть $I$ - идеал кольца $G_F$.
Тогда $N_{K/F}(I G_K)=I^n$ (где $n=[K:F]$).


Доказательство
---------------------

В силу мультипликативности относительной нормы, достаточно проверить лемму в случае простого идеала $I$.
Пусть $I$ - простой идеал кольца $G_F$.
Пусть $I G_K=\prod_{j=1}^m \rho_j^{k_j}$ - разложение идеала $I G_K$ в произведение степеней простых идеалов.
Пусть $f_1$, ..., $f_m$ - относительные степени идеалов$\rho_1$, ..., $\rho_m$.

Тогда $N_{K/F}(I G_K)=I^{(f_1 k_1+...+f_m k_m)}=I^n$, что и требовалось.

[Belfegor]

Феликс Шмидель в сообщении #612235 писал(а):

Это существующая теория алгебраических чисел. Никакого света в конце тоннеля я не вижу.
Я законспектировал около трети книги Гекке "Теория алгебраических чисел".
Закон квадратичной взаимности доказывается в конце книги, и пока я до него дойду возьмёт время.

Увжаемый Феликс Шмидель! Не понимаю, зачем вы приводите конспекты лекций Гекке? Специалисты, думаю, прекрасно о них осведомлены. Не хотите же вы сказать ,что вы являетесь единственным обладателем этой книги? А для дилетантов и ферматиков - это полная абракадабра и галиматья, красивая и непонятная как свист дельфинов.
И если вы не видите света в конце тоннеля, не означает ли это, что после доказательства закона квадратичной зависимости, вы нырнёте в Марианскую впадину доказательства закона кубической зависимости, потом биквадратичной зависимости, а потом завершите всё доказательством закона взаимности Артина?