Уравнение в рациональных числах, можно ли так решать?

[Ktina]

Сколько решений имеет следующее уравнение в рациональных числах?

$$x^2+x+1=y^2$$

(Попытка)

Заметим, что $x^2+x=x(x+1)=((x+\frac{1}{2})+\frac{1}{2})((x+\frac{1}{2})-\frac{1}{2})=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

Таким образом, $(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+1=y^2$, что равносильно $y^2-\frac{3}{4}=(x+\frac{1}{2})^2$
Далее, если $x$ рационально, то $x+\frac{1}{2}$ - тоже, и наоборот.

Итак, из того, что мы докажем существование бесконечного множества пар рациональных чисел с разностью квадратов $\frac{3}{4}$, будет следовать ответ на задачу (и ответ этот будет "бесконечно много").

Найти бесконечное множество таких пар не составляет труда (если заметить, что разность квадратов равна сумме, умноженной на разность). Например, $\forall n\in\mathbb N$ два различных числа вида

$$3\cdot 2^n\pm \frac{1}{2^{n+4}}$$

как раз и составляют такую пару.

Можно ли так решать? Засчитали бы такое решение на олимпиаде?

P. S.
Кстати, ответ "бесконечно много" ещё и конкретизировать нужно (как в анекдоте про "какую кока-колу"), но здесь проблем не возникает, поскольку множество всех рациональных чисел счётно.

[Shadow]

Ktina в сообщении #612227 писал(а):

Найти бесконечное множество таких пар не составляет труда

Найти общее решение не составляет труда. Из системы
$\\2y-2x-1=r\\ 2y+2x+1=\dfrac 3 r\\ \forall r \in Q \ne 0$