Предел и интеграл

[Keter]

ИСН, та то я уже сделал (про график)..
Ну хорошо, пусть $n=1$, как оценить $\int\limits_{0}^{1}f(x)g(x)dx$?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #612040 писал(а):

....
По-моему, это будет ${1\over T}\int\limits_0^1f(x)dx\int\limits_0^Tg(x)dx$. Когда ответ длиннее условия, то встаёт вопрос, а стоило ли его искать...

ИСН, но как же Вы всё-таки добились такого результата? Что за графики изобразили? Весь мой опыт и знания свидетельствуют о том, что интеграл от произведения двух функций нельзя разбить просто на произведение интегралов от каждой функции, если речь об однократном интеграле.

[ИСН]

Keter в сообщении #612222 писал(а):

как оценить $\int\limits_{0}^{1}f(x)g(x)dx$?

Никак. Ведь и правда,

Shtorm в сообщении #612233 писал(а):

интеграл от произведения двух функций нельзя разбить просто на произведение интегралов от каждой функции, если речь об однократном интеграле.

[Oleg Zubelevich]

хорошая задача , хотя и простая, напоминает перемешивание

[ewert]

ИСН в сообщении #612040 писал(а):

По-моему, это будет ${1\over T}\int\limits_0^1f(x)dx\int\limits_0^Tg(x)dx$.

Во всяком случае, если ответ вообще существует, то он может быть только таким, т.к. это безусловно верно для синуса плюс константы.

И он действительно такой, это достаточно очевидно следует из равномерной непрерывности первой функции (непрерывность второй не нужна, для неё достаточно просто интегрируемости).

[ИСН]

Ну я как думал. Разобьём интервал (0,1) на 10 участков. На каждом участке f меняется мало - можно считать константой. Теперь - что делает g(nx). Эта функция периодическая. Период у неё ... какой? Значит, на этом отрезочке укладывается... сколько периодов? Значит...

[ewert]

Собственно, что надо доказать-то? что если вторая функция в среднем по периоду нулевая, то весь интеграл стремится к нулю (такой вот вариант леммы Римана-Лебега). Ну так разобьём единичный отрезок на отдельные периоды плюс, возможно, совсем маленький хвостик справа, который можно не учитывать, т.к. интеграл по нему-то уж точно стремится к нулю. Полный интеграл по всем выделенным периодам не изменится, если на каждом из них вычесть из первой функции её значение, скажем, на левом конце того периода. Однако после такой замены первый сомножитель будет стремиться к нулю равномерно на всём промежутке интегрирования, вот и всё.

[Oleg Zubelevich]

думаю достаточно $f,g\in L^2(\mathbb{R}_+)$

[Keter]

Как на задачу влияет период $T$? Когда он очень маленький или когда он очень большой, $T>1$ ?

[ИСН]

да

-- Ср, 2012-08-29, 17:16 --

я имел в виду: да, задумайтесь над этим тоже.

[ewert]

Keter в сообщении #612260 писал(а):

Как на задачу влияет период $T$?

А почему он должен как-то влиять?

Oleg Zubelevich в сообщении #612258 писал(а):

думаю достаточно $f,g\in L^2(\mathbb{R}_+)$

Вообще из любой сопряжённой пары пространств (кроме $L_{\infty}$ для первой функции), т.е. практически всегда, когда этот интеграл вообще корректен. Хотя бы потому, что относительно любой интегральной нормы любую первую функцию можно сколь угодно точно приблизить непрерывными.

[Dan B-Yallay]

Вот грубое изложение идей, высказанных предыдущими ораторами; доказательства продуцируйте самостоятельно.
Пусть $n$ таково, что в интервал [0,1] влезло $m$ периодов. Хвост не влезшего периода(если есть) можно отбросить, основания для этого уже озвучены ewert-ом:

$$\begin{align*} \int_0^1 f(x)g(nx)dx =\sum\limits_{i=1}^m\int_{\frac{i-1}{m}}^{\frac i m}f(x)g(nx)dx & \approx \sum\limits_{i=1}^m f(x_i)\int_{\frac{i-1}{m}}^{\frac i m}g(nx)dx \quad x_i \in \Big(\dfrac {i-1} {m},\dfrac i m \Big)\\ & = \sum\limits_{i=1}^m f(x_i)\int_{0}^{\frac 1 m}g(nx)dx\\ & = \sum\limits_{i=1}^m f(x_i) \dfrac 1 m \dfrac 1 {\frac 1 m}\int_0^{\frac 1 m}g(nx)dx\\ &=\ldots \end{align*}$$

$\displaystyle \frac 1 {\frac 1 m}\int_0^{\frac 1 m}g(nx)dx$ -это среднее значение функции $g(nx)$ на интервале $[0, \frac 1 m]$, (который является периодом) а оно равно среднему $\dfrac 1 T \displaystyle\int_0^T g(x)dx$ , поэтому

$$\begin{align*} \ldots =\dfrac 1 T \int_0^T g(x)dx \cdot \sum\limits_{i=1}^m f(x_i) \dfrac 1 m \end{align*}$$

последняя сумма в пределе дает $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$

[Oleg Zubelevich]

Пусть функция $g$ равна нулю в среднем и ее превообразная $G(x)$ -- тоже. Тогда

$$\int_0^1f(x)g(nx)dx=\frac{1}{n}\Big(f(x)G(nx)\Big|_0^1-\int_0^1f'(x)G(nx)dx\Big)\to 0$$

если $g$ не равна нулю в среднем то $g(x)=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)dx+w$ , где $w$ -- равна нулю в среднем

[ewert]

Эф не дифференцируема. И пусть это и семечки, но всё-таки.

Я ж практически прямым текстом изложил тогда практически полное доказательство (для непрерывного случая).

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #612349 писал(а):

Эф не дифференцируема. И пусть это и семечки, но всё-таки.

ну приближать надо гладкими функциями естессна, вроде обсудили уже