2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 11:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
1.
Пусть $a, b, x, y, z$ - положительные вещественные числа.
Доказать неравенство: $$\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge\frac{3}{a+b}$$

2.
Пусть $a, b, c$ - положительные вещественные числа.
Доказать неравенство: $$(ab+bc+ac)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}\right)\ge\frac{9}{4}$$

3.
Решить в целых числах уравнение: $$n^3+m^3=4(n^2m+m^2n+1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 12:02 


16/03/11
844
No comments
№3. Приведем к виду $(n+m)^3=7(n^2m+m^2n)+4$. Куб не дает остаток 4 при делении на 7. Значит, решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 12:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
DjD USB, всё верно. Но эту задачу ещё парой способов можно решить. Попробуйте, не помешает для тренировки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 12:15 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #612147 писал(а):
DjD USB, всё верно. Но эту задачу ещё парой способов можно решить. Попробуйте, не помешает для тренировки.

Приведем к виду $(n+m)((n-m)^2-3mn)=4$, дальше легкая система, выражаем одно через другое и подставляем в другое равенство системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 12:22 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Тоже верно. Теперь третьим способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 12:36 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #612154 писал(а):
Тоже верно. Теперь третьим способом.

Третий способ не знаю, точнее не идет в голову. Можете показать или намекнуть в чем суть третьего способа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 12:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Перейти к новым неизвестным $u=m+n$ и $v=mn$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 13:10 


16/03/11
844
No comments
После замены $u(u^2-3v)=4(uv-1)$. Отсюдова мне сразу в голову пришло $u^3=7(uv-1)+3$. Вы это имели ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 13:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
3. Можно напролом.
Поскольку $mn(m+n)$ - четно, то сумма двух кубов $m^3+n^3$ дает остаток $4$ при делении на $8$, что невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах
Сообщение29.08.2012, 13:59 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Ktina в сообщении #612142 писал(а):
1.
Пусть $a, b, x, y, z$ - положительные вещественные числа.
Доказать неравенство: $$\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge\frac{3}{a+b}$$

$\sum\limits_{cyc}\frac{x}{ay+bz}=\sum\limits_{cyc}\frac{x^2}{axy+bxz}\geq\frac{(x+y+z)^2}{(a+b)(xy+xz+yz)}\geq\frac{3}{a+b}$.
Второе неравенство уже обсуждалось здесь. Оно очевидно после применения метода $uvw$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group