Два неравенства и утешительное уравнение в целых числах

[Ktina]

1.
Пусть $a, b, x, y, z$ - положительные вещественные числа.
Доказать неравенство:

$$\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge\frac{3}{a+b}$$

2.
Пусть $a, b, c$ - положительные вещественные числа.
Доказать неравенство:

$$(ab+bc+ac)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}\right)\ge\frac{9}{4}$$

3.
Решить в целых числах уравнение:

$$n^3+m^3=4(n^2m+m^2n+1)$$

[DjD USB]

№3. Приведем к виду $(n+m)^3=7(n^2m+m^2n)+4$. Куб не дает остаток 4 при делении на 7. Значит, решений нет.

[nnosipov]

DjD USB, всё верно. Но эту задачу ещё парой способов можно решить. Попробуйте, не помешает для тренировки.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #612147 писал(а):

DjD USB, всё верно. Но эту задачу ещё парой способов можно решить. Попробуйте, не помешает для тренировки.

Приведем к виду $(n+m)((n-m)^2-3mn)=4$, дальше легкая система, выражаем одно через другое и подставляем в другое равенство системы.

[nnosipov]

Тоже верно. Теперь третьим способом.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #612154 писал(а):

Тоже верно. Теперь третьим способом.

Третий способ не знаю, точнее не идет в голову. Можете показать или намекнуть в чем суть третьего способа?

[nnosipov]

Перейти к новым неизвестным $u=m+n$ и $v=mn$.

[DjD USB]

После замены $u(u^2-3v)=4(uv-1)$. Отсюдова мне сразу в голову пришло $u^3=7(uv-1)+3$. Вы это имели ввиду?

[Cash]

3. Можно напролом.
Поскольку $mn(m+n)$ - четно, то сумма двух кубов $m^3+n^3$ дает остаток $4$ при делении на $8$, что невозможно.

[arqady]

Ktina в сообщении #612142 писал(а):

1.
Пусть $a, b, x, y, z$ - положительные вещественные числа.
Доказать неравенство:

$$\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge\frac{3}{a+b}$$

$\sum\limits_{cyc}\frac{x}{ay+bz}=\sum\limits_{cyc}\frac{x^2}{axy+bxz}\geq\frac{(x+y+z)^2}{(a+b)(xy+xz+yz)}\geq\frac{3}{a+b}$.
Второе неравенство уже обсуждалось здесь. Оно очевидно после применения метода $uvw$.