Предел

[venco]

Keter в сообщении #612064 писал(а):

$b_n \rightarrow \infty$?

Это тоже ещё надо доказать.

Keter в сообщении #612064 писал(а):

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( \dfrac{b_n}{b_n^{\alpha}} \Big( (b_n+1)^{\alpha}-b_n^{\alpha} \Big) \bigg)}$$

Вынесите за скобку просто $b_n$ безо всяких степеней. Сразу станет понятнее.

[Keter]

venco в сообщении #612066 писал(а):

Это тоже ещё надо доказать.

Как? Я понимаю это интуитивно, ну там же $a_n \rightarrow 0$(и то не факт), но все портит $\alpha$.

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{b_n \bigg( \Big( \frac{b_n+1}{b_n} \Big)^{\alpha}-1 \bigg)}$$

[venco]

Keter в сообщении #612071 писал(а):

Как?

Ну, например, оценив снизу разность $b_{n+1}-b_n$.

Keter в сообщении #612071 писал(а):

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{b_n \bigg( \Big( \frac{b_n+1}{b_n} \Big)^{\alpha}-1 \bigg)}$$

Осталось сделать ещё один шаг и поделить наконец внутри на $b_n$.

[Keter]

venco в сообщении #612078 писал(а):

Ну, например, оценив снизу разность $b_{n+1}-b_n$.

$2^{\alpha}-1$ ?

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{b_n \bigg( \Big( 1+\frac{1}{b_n} \Big)^{\alpha}-1 \bigg)}$$

[venco]

Оценка правильная, хоть и не доказанная ещё.
Но пока ладно, если есть $b_{n+1}-b_n>2^{\alpha}-1$, то к чему стремится $b_n$?
А исходя из этого, что можно сделать с вашим пределом?

[Keter]

venco, тогда $b_n \rightarrow \infty$

[ewert]

Чего-то долго. Мы ведь заранее знаем, что $a_n\to0$ (просто из-за монотонности). По условию $\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1+a_n^{\alpha}$. Но тогда под знаком предела стоит

$\dfrac{1}{a_{n}^{\alpha}}\left(\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right)^{\alpha}-1\right)=\dfrac{1}{a_{n}^{\alpha}}\left((1+a_n^{\alpha})^{\alpha}-1\right)\sim\ \ \text{при}\ \ a_n^{\alpha}\to 0\ ...$

[venco]

ewert в сообщении #612262 писал(а):

Мы ведь заранее знаем, что $a_n\to0$ (просто из-за монотонности).

Просто монотонности недостаточно.

[Keter]

Здесь я и застрял. Я не понимаю, что это за предел. Если $b_n \rightarrow \infty$, тогда $1+\frac{1}{b_n} \rightarrow 1$

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{b_n \bigg( \Big( 1+\frac{1}{b_n} \Big)^{\alpha}-1 \bigg)}=\infty \cdot 0$$

[venco]

Там в скобках ведь не полный ноль, а что-то стремящееся к нулю. А как оно стремится?

[Keter]

Стоп. Ведь фактически $1+a_n^{\alpha} > 1$? Ну хоть чуть-чуть, но больше единицы?

-- 29.08.2012, 16:23 --

venco в сообщении #612269 писал(а):

Там в скобках ведь не полный ноль, а что-то стремящееся к нулю. А как оно стремится?

venco, чуть больше единицы

[ewert]

venco в сообщении #612263 писал(а):

Просто монотонности недостаточно.

В данном случае -- достаточно. Т.е. достаточно поставить вопрос: может ли этот предел (раз уж мы знаем, что он существует) быть ненулевым?... И как только этот вопрос поставлен -- ответ на него очевиден.