Предел

[Keter]

$$a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^{\alpha}}, \quad \text{доказать, что} \quad \lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( \dfrac{1}{a_{n+1}^{\alpha}}-\dfrac{1}{a_n^{\alpha}} \bigg)} \rightarrow \alpha, \quad \text{если} \quad \alpha \in (0; 1)$$

Помогите понять, что нужно для доказательства.

[venco]

Попробуйте заменить на $b_n=\frac 1 {a_n^{\alpha}}$.

[Keter]

venco, .........?? я в этой теме делаю так сказать первые шаги...

[venco]

Ну, заменили, какое рекуррентное соотношение для $b_n$ получилось?
Напоминаю, что по правилам этого форума за вас решать нельзя, можно лишь подсказывать.

[Keter]

$$b_{n+1}=\dfrac{(1+b_n)^{\alpha}}{b_n}, \quad \lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( b_{n+1}-b_n \bigg)}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( \dfrac{(1+b_n)^{\alpha}-b_n^2}{b_n} \bigg)}$$

Знаю я про правила Старуюсь не нарушать ))

[venco]

Keter в сообщении #611937 писал(а):

$$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{(1+b_n)^{\alpha}}$$

Неправильно. Давайте по шагам.

[Keter]

venco, заметил, уже исправил прошлое сообщение. Нужно было местами числитель и знаменатель поменять.

[venco]

Опять неправильно. Давайте всё-таки по шагам.

[Keter]

venco, ну ладно. $b_{n+1}=\dfrac{1}{a_{n+1}^{\alpha}}=\dfrac{(1+a_n^{\alpha})^{\alpha}}{a_n^{\alpha}}=\dfrac{(1+b_n)^{\alpha}}{b_n}$
Правильно?

[venco]

Последний шаг вы как сделали?

[Keter]

venco, все со мной ясно $b_{n+1}=\dfrac{b_n (b_n+1)^{\alpha}}{b_n^{\alpha}}$

[ИСН]

[Keter]

(Оффтоп)

ИСН, у меня аллергия на амброзию

-- 29.08.2012, 00:27 --

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( b_{n+1}-b_n \bigg)}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( b_n^{1-\alpha} \Big( (b_n+1)^{\alpha}-b_n^{\alpha} \Big) \bigg)}$$

[ИСН]

ну наконец-то.
Теперь доказываете, что $b_n$ стремится к... (к чему?), и смотрите, к чему при этом стремится искомая разность.

-- Ср, 2012-08-29, 01:30 --

Которая у Вас записана правильно, но некрасиво. Такая форма не помогает искать предел.

[Keter]

$b_n \rightarrow \infty$?

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( \dfrac{b_n}{b_n^{\alpha}} \Big( (b_n+1)^{\alpha}-b_n^{\alpha} \Big) \bigg)}$$