Функциональные уравнения

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #610715 писал(а):

Обратное обзавем логарифмом.

Чтобы говорить про обратное, инъективность нужна. Впрочем, она-то как раз легко доказывается...

[xmaister]

Тогда в чем проблемы?

-- 26.08.2012, 21:42 --

Профессор Снэйп в сообщении #610722 писал(а):

xmaister в сообщении #610715 писал(а):

Обратное обзавем логарифмом.

Чтобы говорить про обратное, инъективность нужна.

Вообще биективность, но суръективность очевидна.

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #610829 писал(а):

Вообще биективность, но суръективность очевидна.

Нет, именно инъективность!

Она для степенной функции есть. А сюрьективности как раз и нету: $a^x$ не принимает отрицательных значений. Соответственно, обратная функция $\log_a y$ оказывается неопределённой при отрицательных $y$. Но про эту функцию всё равно говорят. А вот если бы не было инъективности, то никакой обратной функции вообще бы не было.

[xmaister]

Подождите, давайте рассмотрим отображение $g:[0,+\infty)\to [1,+\infty)$, такое что $g(x)=a^x,a>1$ специально для того, чтобы была суръективность.

Профессор Снэйп в сообщении #610849 писал(а):

Но про эту функцию всё равно говорят.

Как? Если отображение не биективно, то говорить про обратную бессмысленно. Уточните область определения и область значения.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #610849 писал(а):

А сюрьективности как раз и нету: $a^x$ не принимает отрицательных значений.

Ну и пусть себе нет; какое это имеет значение? Для инъективной функции обратная всегда определена на множестве значений исходной, и именно в этом смысле обратную функцию всегда и понимают.

[xmaister]

ewert
Я всегда понимал, что $g:Y\to X$- обратное к $f:X\to Y$ отображение, если $f\circ g=\mathrm{id}_Y,g\circ f=\mathrm{id}_X$.

Р. Энгелькинг на стр. 18 писал(а):

Для инъективного отображения множества $X$ на множество $Y$ существует инъективное $Y$ на $X$...