Неоднородное волновое уравнение, УМФ

[Munin]

А куры подчиняются уравнению $\ddot{q}+\omega^2q=0$?

[supercranberry]

supercranberry в сообщении #608755 писал(а):

supercranberry в сообщении #608639 писал(а):

для всех $n$ не равных трём :

$\begin{cases} T_n'' = - n^2 T_n \\ T_n(0) = 0 \\ T_n'(0) = 0 \end{cases}$

для $n=3$ :

$\begin{cases} T_3'' = - 3^2 T_3 + 1 \\ T_3(0) = 0 \\ T_3'(0) = 0 \end{cases}$


Для $n \ne 3 $получается нет решений.

Для $n = 3 $ получается
$T_3 = - \frac{1}{9} \cos(3t) + \frac{1}{9}$

Как то так?

Нулевые решения мы вроде как не рассматриваем. Не знаю точно почему.

Мы берем сумму решений из 1 и 2 фигурной. В 1 у нас нулевые решения и во второй мы нашли $ T_3$

Так как $U_n(x,t) = T_n(t) \sin(nx)$ , то $U_3 $ будет выглядеть так:
$U_3 = \frac{1}{9} \sin(3x) (1 - \cos(3t))$

Это и будет ответом?

То есть, если рассматривать для n на промежутке от $ [1; \infty )$ мы имеем нулевые решения для всех $n \ne 3$ (потому что нулевые решения есть для всех $n$)и решение при $ n =3 , $U_3 = \frac{1}{9} \sin(3x) (1 - \cos(3t))$$
Как то так?

[Munin]

Угу. Только всё-таки $n$ не "на промежутке", а целые.

[supercranberry]

У меня возникает некоторая путаница по поводу $n$.

Изначально оно появляется при нахождении спектра:

X''+\lambda X = 0 . Нулевой лямбды тут не будет, так как краевые условия первого рода. Меньше нуля мы в принципе не рассматриваем. Значит остаётся больше нуля.


X''+\lambda X = 0, $\lambda > 0 , \lambda = k^2$

Общее решение:
$X = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) \\ X(0) = X( \pi ) = 0 \\ X(0) = C_1 = 0 \\ X( \pi) = C_2 \sin( \pi k)= 0$

$\pi k = \pi n$ ( вот тут по идее $ n=0,1,2...$ , но так как мы рассматриваем $\lambda > 0$ , то $n$ должно быть равно 1,2,... ; иначе лямбда нулём будет)
$ k = n$
$ \lambda = k^2 = n^2$
$X_n = \sin(nx), n \varepsilon N , то есть $n = 1,2,3...$

И с этим же индексом n мы дальше имеем дело.
Верно ли это ? Если они целые то это же ...-1,0,1..
Ведь если мы говорим $U_3$, значит у нас $n=3$. Тогда получается если есть $U_0$, значит есть $n=0$ и $\lambda = 0$?

[Munin]

supercranberry в сообщении #610070 писал(а):

Верно ли это ?

Верно, верно. Я не имел в виду "вообще все целые, включая отрицательные". Я имел в виду просто, что вы указали луч действительных чисел, а из него $n$ могут, на самом деле, принимать не все, а только целые значения.

[Taus]

supercranberry в сообщении #610070 писал(а):

Меньше нуля мы в принципе не рассматриваем.

Вообще говоря мы должны рассматривать все $\lambda \in \mathbb{C}$. Но по некоторым причинам (которые желательно понять) остаются только $\lambda = n^2, n \in \mathbb{N}$ в этой задаче.

[supercranberry]

Спасибо большое за помощь.

Про отрицательные есть теорема: собственные значения в задаче Штурма - Лиувилля всегда неотрицательные.

[ewert]

supercranberry в сообщении #610409 писал(а):

Про отрицательные есть теорема: собственные значения в задаче Штурма - Лиувилля всегда неотрицательные.

Есть, но это совсем другой вопрос. У Вас, похоже, путаница с целочисленностью и положительностью параметра $k$:

supercranberry в сообщении #610070 писал(а):

У меня возникает некоторая путаница по поводу $n$.
. . . . . . . . . . . . . . .
$\pi k = \pi n$ ( вот тут по идее $ n=0,1,2...$ , но так как мы рассматриваем $\lambda > 0$ , то $n$ должно быть равно 1,2,... ; иначе лямбда нулём будет)
. . . . . . . . . . . . . . .
Если они целые то это же ...-1,0,1..

Так вот: положительность $k$, причём именно строгая, возникает по одним причинам, их целочисленность -- совсем по другим, а неотрицательность собственных чисел -- и вовсе по третьим, не имеющим никакого отношения к первым двум.

[supercranberry]

Положительность k в данной задаче строгая, так как$ \lambda = k^2$ (соль не в квадрате, а втом, что лямбда зависит от k).
Лямбда может быть равна нулю, если у нас есть краевые условия ( оба условия) второго рода.
К примеру : $U_x ( 0,t ) = U_x ( \pi, t ) = 0$. У нас такой ситуации нет.
А из теоремы следует неотрицательность собственных значений, т.е. лямд. Следовательно отрицательных не может быть.
Значит k строго положительно в данной задаче.

Целочисленность идёт из того, что k = n (при поиске спектра) , а n у нас используется для обозначения $\pi , 2\pi , 3\pi$ .... В общем когда синус нулю равен.

А неотрицательность собственных чисел - это теорема, в доказательстве которой используется лемма о диссипативности.

Как то так?Если всё не то, подскажите куда глянуть пожалуйста.

[ewert]

supercranberry в сообщении #610470 писал(а):

Положительность k в данной задаче строгая, так как$ \lambda = k^2$ (соль не в квадрате, а втом, что лямбда зависит от k).

Неаккуратно сформулировано. Кроме того, это не объясняет, почему $k=0$ не годится. Ссылки на тип граничных условий не вполне спортивны -- нам не следует ждать милостей от природы (т.е. от чьих-то шпаргалок), тут всё гораздо проще и принципиальнее.

supercranberry в сообщении #610470 писал(а):

А неотрицательность собственных чисел - это теорема, в доказательстве которой используется лемма о диссипативности.

Теорема -- это прекрасно. Только вот не уверен (учитывая контекст), что в ней у вас рассматривались все мыслимые граничные условия типа Штурма или хотя бы все, гарантирующие неотрицательность. Что такое "лемма о диссипативности" -- я не знаю, в отношении терминологии каждый кулик своё болото выдумывает.

[supercranberry]

X''+\lambda X = 0

Возможны три случая.(Можно вообще $k^2$ не вводить)

1 $ \lambda = 0 X'' = 0 X = C_1 + C_2 x X(0) = C_1 = 0 X(\pi) = C_2 \pi = 0 => C_2 = 0$

задача Ш-Л не имеет собств числа равного нулю

2 $ \lambda < 0$ , $\lambda = -k^2$

$X'' - k^2 X = 0 X = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} X(0) = C_1 = - C_2 X(\pi) = C_1 ( e^{k \pi} - e^{-k \pi} ) = 0$
Скобка нулю только если k=0, а $k\ne 0 $, так как лямбда у нас строго меньше нуля. Значит $C_1$ равно нулю и С2 тоже.
Задача Ш-Л не имеет собств чисел меньше нуля.