интеграл

[MathKvant]

Доказать, что справедливо равенство при a>1.
$\int_{0}^{\pi /2} \cos ax(\cos x)^{a-2} dx=0$. Все мои телодвижения ни к чему не привели.

[ИСН]

Хорошо ли оставлять половину условия публике на додумывание? a=2.5 годится?

[MathKvant]

Как в оригинале написал условие

[Cash]

Написано все верно. Интеграл равен нулю для всех $a>1$

[phys]

При всех, или при всех целых?

[ИСН]

Ох чёрт!

-- Чт, 2012-08-23, 15:32 --

Так, у меня есть план. Доказываем для целых - это банально - и делаем вид, что так и надо было.

[nnosipov]

Это плохой план. Всегда хочется большего.

[MathKvant]

Да, неплохо бы увидеть решение, а то я так и не узнал его

[nnosipov]

MathKvant в сообщении #609768 писал(а):

Да, неплохо бы увидеть решение ...

Полностью решение Вы напишите сами, вот подсказка: приведите интеграл к виду

$$ \int\limits_0^\pi \cos{(st)}(1+\cos{t})^{s-1}\,dt $$

и затем вычислите интеграл

$$ \int\limits_0^\pi (\cos{(st)}+i\sin{(st)})(1+\cos{t})^{s-1}\,dt $$

при любом $s>1/2$. Для этого, положив $z=\exp{(it)}$, сведите его к интегралу от функции $f(z)=(z+1)^{2(s-1)}$ по подходящему контуру. (Как в этой задаче обойтись без ТФКП, не знаю.)

[MathKvant]

Спасибо, но тфкп я еще не проходил
Зато нашел авторское решение.
$\int_{0}^{\pi/2} (\cos(a-1)x\cos x-\sin(a-1)x\sin x)(\cos x)^{a-2} dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos(a-1)x(\cos x)^{a-1} dx + \int_{0}^{\pi/2} (\sin(a-1)x/(a-1)) d(\cos x)^{a-1}= \sin(a-1)x (\cos x)^{a-1}/(a-1)=0$
Но я что-то даже решение не понимаю, куда делся первый интеграл?

[nnosipov]

MathKvant, и я не могу понять, выглядит странно. Напишите подробнее. Или приведите оригинал.

А, понял. Действительно, остроумно, но сразу не заметишь.

[ewert]

Сократился с первым после интегрирования по частям.

-- Вс авг 26, 2012 13:50:56 --

Ну в смысле со вторым.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Это я один такой слепой здесь, что не заметил этот фокус?

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #610652 писал(а):

Это я один такой слепой здесь, что не заметил этот фокус?

Возможно, это было спровоцировано неправильность записи -- там в последнем выражении пределы не указаны, в результате чего это выражение могло быть инстинктивно домыслено как интеграл.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Да я не об этом, искать здравые идеи в каракулях студентов --- это мы просто должны. Хватило и минуты, чтобы понять, что там имелось в виду. Но не заметить всё это решение (по сути, довольно банальный трюк с интегрированием по частям) с самого начала ... Я ведь совершенно искренно полагал, что эта задача по ТФКП.