2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 интеграл
Сообщение23.08.2012, 13:29 
Доказать, что справедливо равенство при a>1.
$\int_{0}^{\pi /2} \cos ax(\cos x)^{a-2} dx=0$. Все мои телодвижения ни к чему не привели.

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 13:50 
Аватара пользователя
Хорошо ли оставлять половину условия публике на додумывание? a=2.5 годится?

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 13:59 
Как в оригинале написал условие

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 14:02 
Написано все верно. Интеграл равен нулю для всех $a>1$

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 14:21 
Аватара пользователя
При всех, или при всех целых?

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 14:29 
Аватара пользователя
Ох чёрт!

-- Чт, 2012-08-23, 15:32 --

Так, у меня есть план. Доказываем для целых - это банально - и делаем вид, что так и надо было.

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 14:39 
Это плохой план. Всегда хочется большего.

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение23.08.2012, 22:47 
Да, неплохо бы увидеть решение, а то я так и не узнал его

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение25.08.2012, 12:23 
MathKvant в сообщении #609768 писал(а):
Да, неплохо бы увидеть решение ...
Полностью решение Вы напишите сами, вот подсказка: приведите интеграл к виду
$$
\int\limits_0^\pi \cos{(st)}(1+\cos{t})^{s-1}\,dt
$$
и затем вычислите интеграл
$$
\int\limits_0^\pi (\cos{(st)}+i\sin{(st)})(1+\cos{t})^{s-1}\,dt
$$
при любом $s>1/2$. Для этого, положив $z=\exp{(it)}$, сведите его к интегралу от функции $f(z)=(z+1)^{2(s-1)}$ по подходящему контуру. (Как в этой задаче обойтись без ТФКП, не знаю.)

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение26.08.2012, 12:37 
Спасибо, но тфкп я еще не проходил
Зато нашел авторское решение.
$\int_{0}^{\pi/2} (\cos(a-1)x\cos x-\sin(a-1)x\sin x)(\cos x)^{a-2} dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos(a-1)x(\cos x)^{a-1} dx + \int_{0}^{\pi/2} (\sin(a-1)x/(a-1)) d(\cos x)^{a-1}= \sin(a-1)x (\cos x)^{a-1}/(a-1)=0$
Но я что-то даже решение не понимаю, куда делся первый интеграл?

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение26.08.2012, 12:43 
MathKvant, и я не могу понять, выглядит странно. Напишите подробнее. Или приведите оригинал.

А, понял. Действительно, остроумно, но сразу не заметишь.

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение26.08.2012, 12:48 
Сократился с первым после интегрирования по частям.

-- Вс авг 26, 2012 13:50:56 --

Ну в смысле со вторым.

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение26.08.2012, 13:04 

(Оффтоп)

Это я один такой слепой здесь, что не заметил этот фокус?

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение26.08.2012, 13:18 

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #610652 писал(а):
Это я один такой слепой здесь, что не заметил этот фокус?

Возможно, это было спровоцировано неправильность записи -- там в последнем выражении пределы не указаны, в результате чего это выражение могло быть инстинктивно домыслено как интеграл.

 
 
 
 Re: интеграл
Сообщение26.08.2012, 13:48 

(Оффтоп)

Да я не об этом, искать здравые идеи в каракулях студентов --- это мы просто должны. Хватило и минуты, чтобы понять, что там имелось в виду. Но не заметить всё это решение (по сути, довольно банальный трюк с интегрированием по частям) с самого начала ... Я ведь совершенно искренно полагал, что эта задача по ТФКП.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group