Изоморфизм факторколец многочленов

[Spandei]

Изоморфны ли $Z[x]/(4x^3+3x-2)$ и $Q[x]/(x^3+3x-2)$?

С одной стороны $Z \in Q$, $Z[x] \in Q[x]$.
Если пробовать строить изоморфизм, то, очевидно, можно сопоставить классы вычетов с одинаковыми коэффициентами.
Остаются классы вычетов с дробными коэффициентами в $Q[x]$ и классы вычетов такого вида в $Z[x]$: $[2x^3+ax^2+bx+c],[3x^3+ax^2+bx+c],[4x^3+ax^2+bx+c]$, которые не делятся на $4x^3+3x-2$. Допустим, сопоставим их каким-нибудь 3 группам классов вычетов с дробными коэфф из $Q[x]$, например, так: $[\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c],[\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c],[\frac{1}{4}x^3+ax^2+bx+c]$. Все, в $Z[x]/(4x^3+3x-2)$ классов вычетов не осталось, а в $Q[x]/(x^3+3x-2)$ остались, значит, кольца не изоморфны.

Это верное решение?

[Профессор Снэйп]

Spandei в сообщении #610139 писал(а):

С одной стороны $Z \in Q$, $Z[x] \in Q[x]$.

$\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ и $\mathbb{Z}[x] \subseteq \mathbb{Q}[x]$. "Быть элементом" и "быть подмножеством" - разные вещи!

-- Пт авг 24, 2012 20:23:36 --

Spandei в сообщении #610139 писал(а):

Это верное решение?

Нет, конечно. Из того, что не существует изоморфизма какого-то определённого вида, не означает, что изоморфизма не существует вообще. Поэтому Ваше "например, так" свидетельствует о прямо таки вопиющей безграмотности!

Если хотите доказать отсутствие изоморфизма, в первую очередь следует поискать свойства, которыми одно кольцо обладает, а другое нет. Вот, например, любой элемент второго кольца обладает тем свойством, что является суммой двух одинаковых элементов. Выполняется ли аналогичное свойство в первом кольце?

[Spandei]

Выполняется только для многочленов с четными коэффициентами

[Профессор Снэйп]

Spandei в сообщении #610144 писал(а):

Выполняется только для многочленов с четными коэффициентами

Ну, это неверно. Например, многочлен $x$ эквивалентен сумме двух многочленов, каждый из которых равен $2x^3 + 2x -1$. Думайте дальше!

[nnosipov]

А нет ли опечатки в условии (возможно, многочлены должны быть одинаковыми)? Иначе какая-то вопиющая неизоморфность.