Определитель матрицы и ее обусловленность

[Fgolm]

Для некоторой СЛАУ можно показать, что одно из ее уравнений (вообще говоря, любое) представляет собой линейную комбинацию некоторых двух уравнений (причем, ниодно из этих двух в явном виде в СЛАУ не входит). Рассмотрим для определенности последнее уравнение СЛАУ:
$a_{nj} = \alpha \cdot d_{nj} + \beta \cdot c_{nj} $, $j = \overline {1,n} $
Таким образом, в виду линейности определителя, определитель матрицы $A = \left\| {a_{ij} } \right\|$ равен сумме двух определителей: в одном из них все строки, кроме последней, совпадают со строками $A = \left\| {a_{ij} } \right\|$, а последняя строка – совпадает со строкой $d_{ij} $, в другом определителе – тоже самое, только в последней строке записываются коэффициенты $c_{ij} $. Запишем это так:
$\det \left( A \right) = \alpha \det \left( {A^{\left( d \right)} } \right) + \beta \det \left( {A^{\left( c \right)} } \right)$.
Обозначения понятны.
Далее выясняется, что $\det \left( {A^{\left( c \right)} } \right) = 0$. Тогда, получаем $\det \left( A \right) = \alpha \det \left( {A^{\left( d \right)} } \right)$. Известно, что $\alpha < 1$, следовательно, $\det \left( {A^{\left( d \right)} } \right) > \det \left( A \right)$.
Означает ли это, что однозначно меньше и число обусловленности матрицы $A^{\left( d \right)} $?
Как это можно связать?

[worm2]

А никак. Это независимые вещи.
Например,
$A = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\1&x \end{array}\right)$
$A^{(c)} = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\1&1 \end{array}\right)$
$A^{(d)} = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\1&y \end{array}\right)$
$1<x<y$, $\alpha=\frac{x-1}{y-1}<1$, $\beta=1-\alpha$.
Вроде получается, как в Вашей задаче: $\det A = \alpha \det A^{(d)}$.
Число обусловленности $\nu(A)=F(x)$, $\nu(A^{(d)})=F(y)$, где

$$F(t)=\frac{t+1+\sqrt{(t-1)^2+4}}{t+1-\sqrt{(t-1)^2+4}}$$

.
Но $F(t)$ не является монотонной на $(1,\infty)$: $F(2) \approx 6.9$, $F(3) \approx 5.8$, $F(4) \approx 6.2$. Это значит, что число обусловленности $A$ может быть как больше, так и меньше числа обусловленности $A^{(d)}$.

[Fgolm]

В моем примере любая строка матрицы $A$ может быть представлена линейной комбинацией соответствующих строк матриц $A^{\left( c \right)} $ и $A^{\left( d \right)}$.
Давайте проверим Ваш пример. Для последней строки имеем:
для первого элемента
$1 = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 1 = \alpha \cdot 1 + \left( {1 - \alpha } \right) \cdot 1 = 1$
получаем $1=1$
для второго элемента
$x = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot y = \alpha \cdot 1 + \left( {1 - \alpha } \right) \cdot y = \alpha \cdot \left( {1 - y} \right) + y = \left( {{{x - 1} \over {y - 1}}} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) + y = y + 1 - x$
получаем: $x \ne y + 1 - x$
Т.о., если я не ошибся, то линейной комбинации, о которой я писал не получается в этом примере.
А если поменять местами $\alpha $ и $\beta $, то нарушается условие

$$ \det \left( A \right) = \alpha \det \left( {A^{\left( d \right)} } \right) $$

.
??

[worm2]

Как я понял, должно быть $A_2$ = $\alpha A_2^{(d)}$+$\beta A_2^{(c)}$, где нижний индекс 2 означает 2-ю строку матрицы. Тогда, расписывая покоординатно, имеем $1 = \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 1$ (откуда $\beta = 1-\alpha$), $x = \alpha\cdot y + \beta\cdot 1$ = $\frac{x-1}{y-1}y$ + $\frac{y-x}{y-1}$ = $\frac{xy-y+y-x}{y-1}$ = $\frac{x(y-1)}{y-1}$ = $x$ --- как в аптеке.

Даже если меня глючит и я перепутал $\alpha$ и $\beta$, всё равно поскольку 0 < $\alpha$ < 1, то и 0 < 1-$\alpha$ = $\beta$ < 1, т.е. $\beta$ вполне годится на роль $\alpha$.

Добавлено по некотором размышлении:

Кстати, $\det A$ и $\det A^{(d)}$ легко считаются и получается:
$\det A$ = $\frac{x-1}{y-1}$ $\det A^{(d)}$.

[Fgolm]

Ну да, это я перепутал. Все вроде правильно.
Определитель может возрасти по различным причинам.
Из них могут возникнуть, в частности, два случая:
1) спектр собственных значений смещается таким образом, что все его значения возрастают;
2) спектр собственных значений сужается, то есть максимальное с.з. не изменяется, а минимальное с.з. (по модулю) увеличивается.
Второй случай предпочтительней.
Мои численные расчеты соответствуют именно второму случаю.
Но я, к сожалению, пока все теоретические выводы могу связать только с определителем.

[Fgolm]

Я слышал, что определитель характеризует угол между гиперплоскостями - это вроде как его геометрическая интерпретация. Чем меньше определитель, тем меньше этот угол. Это можно увидеть в случае СЛАУ из 2-х уравнений. Если определитель матрицы такой СЛАУ мал, то это означает, что две прямые, описываемые уравнениями, практически параллельны друг другу (малый угол). Итерационный процесс будет сходиться очень медленно.
Но с другой стороны скорость сходимости итерационного процесса определяется максимальным и минимальным с.з. А эти значения определяют число обусловленности. Стало быть, исходя из такой логики, все-таки можно обнаружить связь между определителем и числом обусловленности?

[незваный гость]

Fgolm писал(а):

Я слышал, что определитель характеризует угол между гиперплоскостями

Это неверно. Рассмотрите $\det(x A) = x^n \det(A)$. То есть, определитель мы можем сделать каким хотим (уж по крайней мере, по модулю). В то же время $\kappa(x A) = \kappa(A)$ при подобии не меняется (как и следовало ожидать). Между определителем и обусловленностью нет прямой связи.

(Определитель, а точнее говоря, его модуль — геометрически суть объем параллелепипеда, натянутого на вектора. Я не думаю, что есть простая геометрическая интерпретация обусловленности, поскольку она зависит от используемой нормы. Соотношение же собственных чисел суть число обусловленности специфически для спектральной нормы.)

[Fgolm]

Вот, решил вернуться к этому вопросу.

незваный гость писал(а):

Рассмотрите $\det \left( {xA} \right) = x^n \det \left( A \right)$. То есть, определитель мы можем сделать каким хотим (уж по крайней мере, по модулю)

Да, мы можем умножить какую-нибудь строку на большое число, и определитель пропорционально возрастет.
Однако в моем примере определитель увеличивается за счет замены одного из уравнений. При этой замене решение соответствующей СЛАУ абсолютно не меняется (это следует из уравнений). Всегда ли можно произвести подобную замену (чтобы решение не менялось, а определитель возрастал)?
В принципе само по себе число обусловленности меня не интересует. Мне просто нужен еще один критерий (объективный, такой как число обусловленности), в дополнение к определителю, который бы иллюстрировал улучшение свойств матрицы коэффициентов. Например, неплохо бы показать, что при такой замене увеличится скорость сходимости итерационного процесса (метод простой итерации). В моем примере, как я писал, это действительно происходит. К сожалению, я не могу показать это теоретически. Однако на практике (посчитав с.з. сначала матрицы $A$, а затем $A^{\left( d \right)} $) увидел, что минимальное с.з. в $A$ "ликвидируется" упомянутой заменой.
Это, в частности, приводит к возрастанию определителя, а также, скорости сходимости метода простой итерации (это более очевидное следствие, чем возрастание определителя).
Вот конкретный численный пример.
http://slil.ru/24993937 (2 Kb)
Тут, в txt матрица $A$ ($N \times N = 10 \times 10$). Записана в один столбец. Первые 10 элементов в файле – это первая строка. Следующие 10 элементов – вторая строка и т.д.. На диагонали – единицы.
http://slil.ru/24993946
Тут – матрица

$$A^{\left( d \right)}$$

[TOTAL]

Fgolm писал(а):

Однако в моем примере определитель увеличивается за счет замены одного из уравнений.

Если строки линейно зависимы, как было сказано, то определитель был и остался равен нулю, не увеличился.

[Fgolm]

TOTAL, Вы не правильно меня поняли. Матрица $A$ представляет собой сумму двух матриц, одна из которых вырожденная (все строки линейно зависимы), а вторая невырожденная. Определитель этой второй, естественно, равен определителю исходной матрицы - это с одной стороны. Но с другой стороны он пропорционален определителю третьей матрицы ($\alpha$ - коэффициент пропорциональности). Таким образом, используя вместо исходной матрицы последнюю (третью) мы увеличиваем ее определитель в $\alpha^{-1}$ раз ($\alpha$ меньше единицы).

[TOTAL]

Fgolm писал(а):

Таким образом, используя вместо исходной матрицы последнюю (третью) мы увеличиваем ее определитель в $\alpha^{-1}$ раз ($\alpha$ меньше единицы).

Как именно используете новую матрицу вместо исходной?

[Fgolm]

TOTAL писал(а):

Как именно используете новую матрицу вместо исходной?

В СЛАУ, вместо исходной матрицы, записываю новую (ту, что с бо'льшим определителем). В свободном члене меняю один из элементов. В том примере, который я привел (в файлы, правда, записаны только матрицы исходной и новой СЛАУ, но не записаны вектора свободных членов) заменяю последний элемент вектора свободного члена. Последний элемент взят, поскольку все рассуждения, для определенности, ведутся для последней строки:

Fgolm писал(а):

Рассмотрим для определенности последнее уравнение СЛАУ:
$a_{nj} = \alpha \cdot d_{nj} + \beta \cdot c_{nj} $, $j = \overline {1,n} $,

При этом решение новой СЛАУ совпадает с решением исходной. Но свойства ее матрицы лучше.

[TOTAL]

Fgolm писал(а):

При этом решение новой СЛАУ совпадает с решением исходной. Но свойства ее матрицы лучше.

Почему оно совпадает?

[Fgolm]

TOTAL писал(а):

Почему оно совпадает?

Fgolm писал(а):

Рассмотрим для определенности последнее уравнение СЛАУ:
$a_{nj} = \alpha \cdot d_{nj} + \beta \cdot c_{nj} $, $j = \overline {1,n} $

Уравнение вида: $ \alpha \ d_{nj}\ x_j = f_n, \ \ j=1,2,...,n \ \ \ \ \ (*)$
($ f_n $ - то значение, которое пойдет в новый вектор свободного члена на место последнего элемента) не входит в исходную СЛАУ и является линейно независимым по отношению к первым $\left( {N - 1} \right)$ уравнениям этой СЛАУ. Это уравнение является условием, которому решение исходной СЛАУ удовлетворяет автоматически.
Поэтому, очевидно, подставление уравнение $(*)$ в исходную СЛАУ вместо ее последнего уравнения решения не меняет. Зато, мы можем поделить уравнение $(*)$ на $\alpha$ это увеличит определитель (см. выше).
Примечание. Когда мы последнее уравнение исходной СЛАУ заменим уравнением $(*)$, то матрица новой СЛАУ - это та матрица, которая в сообщении от Чт Окт 18, 2007 13:45:25 была названа второй. А когда поделим на постоянную, - получим СЛАУ с матрицей, названной там же третьей.

[TOTAL]

Fgolm писал(а):

Уравнение вида: $ \alpha \cdot d_{nj} = f_n \ \ \ \ \ (*)$
($ f_n $ - то значение, которое пойдет в новый вектор свободного члена на место последнего элемента) не входит в исходную СЛАУ и является линейно независимым по отношению к первым $\left( {N - 1} \right)$ уравнениям этой СЛАУ. Это уравнение является условием, которому решение исходной СЛАУ удовлетворяет автоматически.
Поэтому, очевидно, подставление уравнение $(*)$ в исходную СЛАУ вместо ее последнего уравнения решения не меняет. Зато, мы можем поделить уравнение $(*)$ на $\alpha$ это увеличит определитель (см. выше).

Извините, но я не понимаю, ни что Вы делаете, ни в чем проблема. Попробуйте объяснить кому-нибудь еще.