Точки гиперсферы

[hazzo]

Есть ли способы решения следующего уравнения:
\sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2=r^2, r\ne0.

Может быть численными (оптимизационными) методами.

[hazzo]

Друзья! а имея решение, при котором \sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2=0, можно ли его преобразовывать в решение \sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2=r^2. Если да то как?

[hazzo]

hazzo в сообщении #608999 писал(а):

Друзья! а имея решение, при котором \sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2=0, можно ли его преобразовывать в решение \sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2=r^2. Если да то как?

Да глупость, но на самом деле не то писал. Хотел сказать следующее:
Можно ли поставить вопрос так
\sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2 \to \max, а как ограничение использовать r^2.
Меня больше интересует чему равна \sum_{i=1}^nx_i чем значения x_i.

[Munin]

Решение этого уравнения - это линия пересечения сферы с эллипсоидом. В каком виде вам её надо представить? А то, само уравнение можно тоже считать описанием этой линии, для некоторых целей наилучшим.

[hazzo]

Решение найдено.
Выражение декартовых координат через сферические в n-мерном случае и все ок.

[Vitalius]

hazzo в сообщении #608912 писал(а):

Есть ли способы решения следующего уравнения:
\sum_{i=1}^n(x_i-c_i)^2=r^2, r\ne0.

Может быть численными (оптимизационными) методами.

Вы что, ищите решение для всех $x_{i}$ при заданными $c_i$ и $r$?! И как? У вас всего на всего одно единственное уравнение.

[hazzo]

Vitalius в сообщении #609301 писал(а):

Вы что, ищите решение для всех $x_{i}$ при заданными $c_i$ и $r$?! И как? У вас всего на всего одно единственное уравнение.

Да. Фокус.
Но можно получить параметрические решения $x_{i}$ через сферические координаты в n-мерном случае.
См. Гиперсферические координаты http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0. Там приравняем выражение $x_{i}-c_{i}$ соответствующим выражениям и вот весь фокус.

[Vitalius]

И зачем вам всё это? По любому можете выбирать много разных $x_i$, которые удовлетворяют то ваше единственное уравнение. Вот например один простой такой выбор:

$x_i=c_i+r_i,$

где числа $r_i$ ограничены только условием:

\sum_{i=1}^n r_i^2=r^2, r\ne0.

Конечно если ищите решения из множества реальных чисел, то тогда следует потребовать, чтобы $r_i<r$.

На мой взгляд гораздо более интересно будет искать решение относительно $x_i$ когда речь идёт о системе из $n$ квадратичных форм:

$A^{ij}_{(k)}x_{i}x_{j}=b_{(k)};\ i,j,k\in Z;\ i,j,k\in [1,n].$

[hazzo]

Vitalius в сообщении #609404 писал(а):

И зачем вам всё это? По любому можете выбирать много разных $x_i$, которые удовлетворяют то ваше единственное уравнение. Вот например один простой такой выбор:

$x_i=c_i+r_i,$

где числа $r_i$ ограничены только условием:

\sum_{i=1}^n r_i^2=r^2, r\ne0.

Конечно если ищите решения из множества реальных чисел, то тогда следует потребовать, чтобы $r_i<r$.

Ваш пример является частным случаем найденного решения, когда числа $r_i$ равны соответствующим произведениям синусов-коснусов. Единственно у вас n параметров, а там их n-1.
На самом деле есть и проще способ, который заключается в следующем:
У нас уравнение с n неизвестными x_1,\,x_2,\,...\,x_n и n+1 чисел c_1,\,c_2,\,...\,c_n,\,r . Выбираем произвольно любые n-1 числа (с условиями -r\le x_i\le r и решаем полученное квадратное уравнение. Но в этом случае для каждого $x_i$ у меня появятся 2 возможных решения, т.е. уравнения. Это со всем не устраивает.

Так что гиперсферические координаты остается для меня наилучшим.

Vitalius в сообщении #609404 писал(а):

На мой взгляд гораздо более интересно будет искать решение относительно $x_i$ когда речь идёт о системе из $n$ квадратичных форм:

$A^{ij}_{(k)}x_{i}x_{j}=b_{(k)};\ i,j,k\in Z;\ i,j,k\in [1,n].$

А как получить систему из $n$ квадратичных форм?

[Vitalius]

hazzo в сообщении #609415 писал(а):

Ваш пример является частным случаем найденного решения, когда числа $r_i$ равны соответствующим произведениям синусов-коснусов. Единственно у вас n параметров, а там их n-1.

У меня $n-1$ параметров. Неужели не видите?! Когда задал $n-1$ числа $r_{i}$, то n-ое могу найти из уравнения:

$\sum_{i=1}^n r_i^2=r^2, r\ne0.$

При том элементарно. Вот:

$r_n=\pm\sqrt{r^2-\sum_{i=1}^{n-1} r_i^2}$

[hazzo]

Vitalius в сообщении #609423 писал(а):

У меня $n-1$ параметров. Неужели не видите?! Когда задал $n-1$ числа $r_{i}$, то n-ое могу найти из уравнения:

$\sum_{i=1}^n r_i^2=r^2, r\ne0.$

При том элементарно. Вот:

$r_n=\pm\sqrt{r^2-\sum_{i=1}^{n-1} r_i^2}$

Имеется ввиду вам требуется n параметров. Все равно Вы делаете дополнительное вычисление.
А как получить систему из $n$ квадратичных форм?

[Vitalius]

Нет, не требуются n параметров - только n-1.

hazzo в сообщении #609415 писал(а):

А как получить систему из $n$ квадратичных форм?

Да я задал её. Вот например случай когда $n=2$:

$A^{11}_{(1)}x_{1}^{2}+2A^{12}_{(1)}x_{1}x_{2}+A^{22}_{(1)}x_{2}^{2}=b_{(1)}$
$A^{11}_{(2)}x_{1}^{2}+2A^{12}_{(2)}x_{1}x_{2}+A^{22}_{(2)}x_{2}^{2}=b_{(2)}.$

Для удобства выбрал симметричные $A^{ij}_{(k)}$ (в смысле, что $A^{ij}_{(k)}=A^{ji}_{(k)}$). Считайте, что все 8 (в данном случае) числа $A^{ij}_{(k)}$ и $b_{(k)}$ заданы и будет вам система из двух квадратинчых форм с двумя неизвестными - $x_1$ и $x_2$.

[hazzo]

Vitalius в сообщении #609435 писал(а):

Да я задал её. Вот например случай когда $n=2$:

$A^{11}_{(1)}x_{1}^{2}+2A^{12}_{(1)}x_{1}x_{2}+A^{22}_{(1)}x_{2}^{2}=b_{(1)}$
$A^{11}_{(2)}x_{1}^{2}+2A^{12}_{(2)}x_{1}x_{2}+A^{22}_{(2)}x_{2}^{2}=b_{(2)}.$

Для удобства выбрал симметричные $A^{ij}_{(k)}$ (в смысле, что $A^{ij}_{(k)}=A^{ji}_{(k)}$). Считайте, что все 8 числа $A^{ij}_{(k)}$ и $b_{(k)}$ заданы и будет вам система из двух квадратинчых форм с двумя неизвестными - $x_1$ и $x_2$.

Но в n-мерном случае это решение сложнее чем предыдущие. Не так ли?

[Vitalius]

Во всех случаях, хоть с 2 неизвестными, хоть с 102, особенности решения относительно $x_i$ определяются этих n симметричных nxn матриц $A^{ij}_{(k)}$ и числа $b_{(k)}$. Для подсказки скажу вам, что если все n матрицы $A^{ij}_{(k)}$ диагональные, то задача становится не сложнее, чем система из n линейных уравнений с n неизвестными. С ростом n растёт и количество алгебраических операций, которые выполняются, но алгоритм один. Вот, подумайте как следует искать путь к диагонализации $A^{ij}_{(k)}$ в общем случае!

[hazzo]

Vitalius в сообщении #609440 писал(а):

Во всех случаях, хоть с 2 неизвестными, хоть с 102, особенности решения относительно $x_i$ определяются этих n симметричных nxn матриц $A^{ij}_{(k)}$ и числа $b_{(k)}$. Для подсказки скажу вам, что если все n матрицы $A^{ij}_{(k)}$ диагональные, то задача становится не сложнее, чем система из n линейных уравнений с n неизвестными. С ростом n растёт и количество алгебраических операций, которые выполняются, но алгоритм один. Вот, подумайте как следует искать путь к диагонализации $A^{ij}_{(k)}$ в общем случае!

Ясно. Спасибо.