Показать, что единичная сфера - не плоская поверхность

[cupuyc]

Насколько я понял, данная задача должна решаться следующим образом.

1. Вводим сферические координаты: полярный угол $\vartheta$ и азимутальный $\psi$. $\displaystyle q=\left(\begin{array}{c} \vartheta\\ \psi \end{array}\right)$
2. Метрический тензор: $\displaystyle g_{ij}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & \sin^{2}q^{1} \end{array}\right)$
3. Если поверхность является плоской, то должно существовать преобразование $p=p(q)$ для которого метрический тензор будет являться дельта функцией.

$\displaystyle \delta_{ij}=\left(\frac{\partial q^{r}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{s}}{\partial p^{j}}\right)g_{rs}$
или, подставляя метрический тензор в явном виде, получаем:
$\displaystyle \delta_{ij}=\frac{\partial q^{r}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{s}}{\partial p^{j}}g_{rs}=\frac{\partial q^{1}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{1}}{\partial p^{j}}+\frac{\partial q^{2}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{2}}{\partial p^{j}}\sin^{2}q^{1}$

Как быть дальше - непонятно. Интуитивно понятно, что правило преобразования координат для тензора второго ранга должно выглядеть так: $\delta_{ij}g^{rs}$, где $g^{rs}g_{rs}=1$. Но $\displaystyle g^{rs}$ имеет особые точки, поэтому поверхность будет являться плоской только локально... Как-то так...

[Профессор Снэйп]

А что такое плоская поверхность? Я уже подзабыл значение этого термина.

[cupuyc]

Профессор Снэйп, возможно, я ошибся с переводом: flat surface

В самом конце лекции лектор ставит задачку.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&list=PL39CDB7C8EE8FCF33&v=hR7fWF_qBZI#t=5833s

[Oleg Zubelevich]

cupuyc в сообщении #609164 писал(а):

Но $\displaystyle g^{rs}$ имеет особые точки

особые точки имеет не метрика, а система локальных координат

cupuyc в сообщении #609164 писал(а):

поэтому поверхность будет являться плоской только локально

локально тоже не будет, тензор кривизны считайте