2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показать, что единичная сфера - не плоская поверхность
Сообщение22.08.2012, 19:10 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Насколько я понял, данная задача должна решаться следующим образом.

1. Вводим сферические координаты: полярный угол $\vartheta$ и азимутальный $\psi$. $\displaystyle q=\left(\begin{array}{c}
\vartheta\\
\psi
\end{array}\right)$
2. Метрический тензор: $\displaystyle g_{ij}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & \sin^{2}q^{1}
\end{array}\right)$
3. Если поверхность является плоской, то должно существовать преобразование $p=p(q)$ для которого метрический тензор будет являться дельта функцией.

$\displaystyle \delta_{ij}=\left(\frac{\partial q^{r}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{s}}{\partial p^{j}}\right)g_{rs}$
или, подставляя метрический тензор в явном виде, получаем:
$\displaystyle \delta_{ij}=\frac{\partial q^{r}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{s}}{\partial p^{j}}g_{rs}=\frac{\partial q^{1}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{1}}{\partial p^{j}}+\frac{\partial q^{2}}{\partial p^{i}}\frac{\partial q^{2}}{\partial p^{j}}\sin^{2}q^{1}$

Как быть дальше - непонятно. Интуитивно понятно, что правило преобразования координат для тензора второго ранга должно выглядеть так: $\delta_{ij}g^{rs}$, где $g^{rs}g_{rs}=1$. Но $\displaystyle g^{rs}$ имеет особые точки, поэтому поверхность будет являться плоской только локально... Как-то так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что единичная сфера - не плоская поверхность
Сообщение22.08.2012, 19:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А что такое плоская поверхность? Я уже подзабыл значение этого термина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что единичная сфера - не плоская поверхность
Сообщение22.08.2012, 22:25 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Профессор Снэйп, возможно, я ошибся с переводом: flat surface

В самом конце лекции лектор ставит задачку.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&list=PL39CDB7C8EE8FCF33&v=hR7fWF_qBZI#t=5833s

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что единичная сфера - не плоская поверхность
Сообщение22.08.2012, 23:14 


10/02/11
6786
cupuyc в сообщении #609164 писал(а):
Но $\displaystyle g^{rs}$ имеет особые точки


особые точки имеет не метрика, а система локальных координат
cupuyc в сообщении #609164 писал(а):
поэтому поверхность будет являться плоской только локально

локально тоже не будет, тензор кривизны считайте

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group